已知等边三角形两点，求第三点坐标

版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载。 https://blog.csdn.net/lkj345/article/details/78375862

本文不是针对几何公式推导，而是针对在编写程序过程中遇到的实际问题，所以打算只求出符合要求的等边三角形中的一个即可。在阅读生成平均脸的过程中，需要求出以两只眼为两点的等边三角形的另外一点的坐标。

由上图可知（引用自博客），当点( $X_0$, $Y_0$)旋转 $\theta$之后的坐标可以由下面的公式推出。

$\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\theta & sin \theta \\ -sin\theta & cos\theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_0 \\ Y_0 \end{bmatrix}\tag{1}$

由此分析，当已知A和B两点，向量 $\vec AB$为 $\vec B$ - $\vec A$，将向量 $\vec AB$以A为中心旋转 $60^\circ$后得到的向量 $\vec AC$的终点C便是我们要求的第三点坐标（这句话有点长，慢慢读，很好理解）。
$\begin{bmatrix} X_C \\ Y_C \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} X_A \\ Y_A \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} cos\theta & sin \theta \\ -sin\theta & cos\theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_{AB} \\ Y_{AB} \end{bmatrix}\tag{2}$

于是便有如下matlab代码，其中红色的线表示向量 $\vec AB$，绿色的线表示向量 $\vec BC$，蓝色的线表示向量 $\vec CA$。

% 根据旋转矩阵求等边三角形第三点坐标
A = [3; 1]; %可任意修稿
B = [5; 8]; % 可任意修改
AB = B - A;
theta = deg2rad(60);
T = [cos(theta) sin(theta); -sin(theta) cos(theta)];
C = A + T*AB; % 核心旋转程序
lines = [A'; B'; C'; A'];
hold on;
plot(lines([1 2], 1), lines([1 2], 2), 'r');
plot(lines([2 3], 1), lines([2 3], 2), 'g');
plot(lines([3 1], 1), lines([3 1], 2), 'b');
axis equal

结果如下图，点(3,1)和(5,8)已知，另外一个点的坐标是(10.062,2.768)，同理只要将向量 $\vec AB$朝另一个方向旋转 $60^\circ$便可得到另一个顶点，即将程序中的 $60^\circ$改为 $-60^\circ$即可，得到的坐标是(-2.062,6.232)。