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最近看赵修利于龚希亭的两篇论文，都是用多阶段报童模型建模，只考虑lost sales的情况，通过证明最优订货策略是 base stock策略，进而得出一系列性质。
文章中大部分是证明，不过读了受益匪浅，我计划将数学证明自己推一遍。
状态变量：
初始库存水平
初始资金
补货上限
其他参数：
状态转移方程：
定义最优指标函数：
边界函数：
若要证明最优策略，必须证明资金的最优指标函数是关于 的联合凹函数。
证明：归纳法
首先边界函数是关于 的联合凹函数。
假设 是联合凹函数，需证明
也是联合凹函数。
首先证明
是关于 x, s, w 的联合凹函数。
即：
需利用两个重要性质：
并且，可以证明 是关于z 的减函数，则
又由于Vn 是凹函数，可行域为凹， 则期望函数为凹函数。
用 R 表示 w+cx， 则最优函数也是关于 s 与 R 的凹函数。最优函数为：
当 R 不变时及无约束时，设最优解为
则最优函数在 y 小于 此值时递增，大于此值时，抵减。 可以推出 base stock 的订货策略。