截取符合指数分布的一部分样本的理论与实验

最近在解决一个符合指数分布的样本处理的问题时，做了一个假设，然后需要做一个小实验确认基于假设而简单推导出的理论的正确性。

首先是假设：给定一个总个数为 N 的样本集，样本集中元素符合指数分布，即在样本集 S 里的每一个元素 X 的值都符合参数为 lambda 的指数分布 X~Exp(lambda). 那么，如果我另给定一个长度 n ，来对所有的样本元素截取，即挑出那些 X 小于或等于 n 的所有元素。

问题是：1）这样的元素有多少个，用N0表示？ 2）这些所有被截取的元素的和是多少，用L表示？

A. 简单推导：

1）第一个小问题，我的思路是这样的：首先求出元素X不大于n的累积分布概率 F(n, lambda)，然后所有不大于n的元素的个数即为总体样本个数在 F(n, lambda) 的体现。即

$F(n,\lambda)=1-e^{-\lambda n},\\ N_0 = F(n,\lambda) \cdot N = N(1-e^{-\lambda n}).$

2）第二问的思路是：首先求出所有小于等于 n 的元素的期望 E(X<=n)，然后 L 即为期望 E(X<=n) 在总体样本上的体现。即

$E(X \leq n) = \int ^{n}_{0}X\cdot f(X)dX \\ = \int ^{n}_{0}X\cdot (\lambda \cdot e^{-\lambda X})dX \\ = \frac{1}{\lambda}\cdot(1-\frac{1+\lambda n}{e^{-\lambda n}}).\\ L = N \cdot E(X \leq n).$

其中，f(X) 为指数分布的概率密度函数。

B. 接下来，用实验来验证。

1）代码； 2）效果；3）结论。

1）

clear
% ---- 1) generate S with Exprnd()
S = [];
cnt_elements = 1e6;
Mu = 5;
S= exprnd(Mu,1,cnt_elements);

% ---- 2) counting
n_threshold = 3;
selected_elements_idx = [];
selected_elements_idx = find(S <= n_threshold);
% -- a. count of selected elements within threshold.
CNT_selected = size(selected_elements_idx);
% -- b. sum of the selected elements.
sum_sel_ones = sum( S(selected_elements_idx) );

% ----- 3) analysis of N0:
lam = 1.0/Mu;
n = n_threshold;
N = cnt_elements;
N0 = N * (1-exp(-1*lam*n) );

% ----- 4) analysis of L.
L = (N/lam)*(1 - (lam*n + 1)/exp(lam*n));

% ----- 5) Compare CNT_selected with N0.
CNT_selected
N0

% ----- 6) Compare sum_sel_ones with L.
sum_sel_ones
L

2）输出：

CNT_selected =
1 451172

N0 =
4.5119e+005

sum_sel_ones =
6.0934e+005

L =
6.0951e+005

3）从输出看出，实验结果大致符合理论推导。

Davy_H

2014-7-15

截取符合指数分布的一部分样本的理论与实验

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