写在前面
在之前学的神经网络模型中，算法都是前向反馈的，模型的输出和模型本身没有关联关系。今天我们就讨论另一类输出和模型间有反馈的神经网络：循环神经网络(Recurrent Neural Networks ，以下简称RNN)，它广泛的用于自然语言处理中的语音识别，手写书别，时间序列分析以及机器翻译等领域。
1. RNN概述
在前面讲到的DNN和CNN中，训练样本的输入和输出是比较的确定的。传统的神经网络模型中，是从输入层到隐含层再到输出层，层与层之间是全连接的，每层之间的节点是无连接的。但是有一类问题DNN和CNN不好解决，就是训练样本输入是连续的序列,且序列的长短不一，比如基于时间的序列：一段段连续的语音，一段段连续的手写文字。这些序列比较长，且长度不一，比较难直接的拆分成一个个独立的样本来通过DNN/CNN进行训练。
而对于这类问题，RNN则比较的擅长。那么RNN是怎么做到的呢？RNN假设我们的样本是基于序列的。比如是从序列索引1到序列索引τ的。对于这其中的任意序列索引号t,它对应的输入是对应的样本序列中的x(t)。而模型在序列索引号t位置的隐藏状态h(t)，则由x(t)和在t−1位置的隐藏状态h(t−1)共同决定。在任意序列索引号t，我们也有对应的模型预测输出o(t)。通过预测输出o(t)和训练序列真实输出y(t),以及损失函数L(t)，我们就可以用DNN类似的方法来训练模型，接着用来预测测试序列中的一些位置的输出。
从网络结构上，RNN会记忆之前的信息，并利用之前的信息影响后面结点的输出。下面具体介绍RNN模型结构。
2. RNN模型
RNN模型有比较多的变种，这里介绍最主流的RNN模型结构如下：
对于RNN，一个非常重要的概念就是时刻。RNN会对每一个时刻的输入结合当前模型的状态给出一个输出。上图中左边是RNN模型没有按时间展开的图，如果按时间序列展开，则是上图中的右边部分。我们重点观察右边部分的图。
这幅图描述了在序列索引号t附近RNN的模型。其中：
1）x(t)代表在序列索引号t时训练样本的输入。同样的，x(t−1)和x(t+1)代表在序列索引号t−1和t+1时训练样本的输入。
2）h(t)代表在序列索引号t时模型的隐藏状态。h(t)由x(t)和h(t−1)共同决定。
3）o(t)代表在序列索引号t时模型的输出。o(t)只由模型当前的隐藏状态h(t)决定。
4）L(t)代表在序列索引号t时模型的损失函数。
5）y(t)代表在序列索引号t时训练样本序列的真实输出、
6）U,W,V这三个矩阵是我们的模型的线性关系参数，它在整个RNN网络中是共享的，这点和DNN很不相同。 也正因为是共享了，它体现了RNN的模型的“循环反馈”的思想。
3. RNN算法原理
依照上面的模型，我们来看一下RNN的具体算法过程。跟前面同样包括两个部分：前向传播和反向传播。
3.1 RNN前向传播算法
其中σ为RNN的激活函数，一般为tanh, b为线性关系的偏置。
序列索引号t时模型的输出o(t)的表达式比较简单：
在最终在序列索引号t时我们的预测输出为:
通常由于RNN是识别类的分类模型，所以上面这个激活函数一般是softmax。
通过损失函数L(t)，比如对数似然损失函数，我们可以量化模型在当前位置的损失，即y^(t)和y(t)的差距。
3.2 RNN反向传播算法
有了RNN前向传播算法的基础，就容易推导出RNN反向传播算法的流程了。RNN反向传播算法的思路和DNN是一样的，即通过梯度下降法一轮轮的迭代，得到合适的RNN模型参数U,W,V,b,c。由于我们是基于时间反向传播，所以RNN的反向传播有时也叫做BPTT(back-propagation through time)。当然这里的BPTT和DNN也有很大的不同点，即这里所有的U,W,V,b,c在序列的各个位置是共享的，反向传播时我们更新的是相同的参数。
为了简化描述，这里的损失函数我们为对数损失函数，输出的激活函数为softmax函数，隐藏层的激活函数为tanh函数。对于RNN，由于我们在序列的每个位置都有损失函数，因此最终的损失L为：
其中V,c,的梯度计算是比较简单的：
但是W,U,b的梯度计算就比较的复杂了。从RNN的模型可以看出，在反向传播时，在在某一序列位置t的梯度损失由当前位置的输出对应的梯度损失和序列索引位置t+1时的梯度损失两部分共同决定。对于W在某一序列位置t的梯度损失需要反向传播一步步的计算。我们定义序列索引t位置的隐藏状态的梯度为：
这样我们可以像DNN一样从δ(t+1)递推δ(t) 。
有了δ(t),计算W,U,b就容易了，这里给出W,U,b的梯度计算表达式：
5.TensorFlow示例代码
import numpy as np
#定义RNN参数
X = [1,2]
state = [0.0, 0.0]
w_cell_state = np.asarray([[0.1, 0.2], [0.3, 0.4]])
w_cell_input = np.asarray([0.5, 0.6])
b_cell = np.asarray([0.1, -0.1])
w_output = np.asarray([[1.0], [2.0]])
b_output = 0.1
#执行前向传播
for i in range(len(X)):
before_activation = np.dot(state, w_cell_state) + X[i] * w_cell_input + b_cell
state = np.tanh(before_activation)
final_output = np.dot(state, w_output) + b_output
print( "before activation: ", before_activation)
print ("state: ", state)
print ("output: ", final_output)6. RNN小结
上面总结了通用的RNN模型和前向反向传播算法。当然，有些RNN模型会有些不同，自然前向反向传播的公式会有些不一样，但是原理基本类似。
RNN虽然理论上可以很漂亮的解决序列数据的训练，但是它也像DNN一样有梯度消失时的问题，当序列很长的时候问题尤其严重。所以实际中一般会规定一个最大长度，当序列长度超出时会对序列进行截断。因此，上面的RNN模型一般不能直接用于应用领域。在语音识别，手写书别以及机器翻译等NLP领域实际应用比较广泛的是基于RNN模型的一个特例LSTM，下一篇我们就来讨论LSTM模型。
y以上~
2018.06.10