线性基

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~~百度的第一句话似乎有点怪异~~

其实，对于广义的线性基，也就是线性代数里面的基。一个基也相当于该空间内的一个集合。

其实一个基的最大的特点就是：

它可以线性表出所有该空间里的向量（元素）
它的大小是最小的（也就是基中的元素个数不多）
且它的任何一个非空子集不会线性表出空集。

对于线性表出的意思，可以简单的理解为一些元素通过一种运算可以得到另一个元素，就称这些元素线性表出了另一个元素（线性表示出的意思）

关于第三点，可以简单证明一下，用反证法：
假如，对于 $\bigoplus_{i=1}^na_i=\varnothing$ ，那么我们将左边的一个元素移动到右边，则变成了 $\bigoplus_{i=1}^na_i[i\not= j]=a_j$ ，那么 $a_j$ 这个元素就可以被 $\bigoplus_{i=1}^na_i[i\not= j]$ 线性表出了，所以将 $a_j$ 删除，剩下的才是线性基。

这里，我们只讲在异或意义下的线性基，也就是 $\bigoplus=xor$ 。

除了对于数在二进制下的异或，我们可以将其推广到集合上，也就变成了对称差，那么可以用同样的方式对于一系列集合求其线性基。

一些定义：

异或和

这里我们的异或和不是 $a_i\ xor\ a_j +a_k\ xor\ a_w\cdots$ ，而是 ${xor}_{i=1}^na_i$ ，也就是所有的 $a_i$ 异或起来。其中 $a_i$ 为无符号的整数类型。

线性相关

~~学过线性代数的人应该知道吧QAQ~~
对于一个集合 $S$ 和集合中的任意一个元素 $s_j$ ，这个 $s_j$ 可以由集合中的其它元素线性表出，那么就称集合 $S$ 线性相关，反之就如果所有的 $s_i$ 都不满足该性质，就称为线性无关。

张成

对于一个集合 $S$ 的张成，我们简记为 $\rm span(S)$ ，其中：
$\rm span(S)=\{t|t=\bigoplus_{s_i\in S^{'}}s_i\}(S^{'}为S的子集)$
用文字来说，就是对于每一个 $S$ 的子集的线性运算结果所组成的集合称作这个集合的张成。

一个结论就是对于一个线性相关的集合 $S$ ，去除其中任意一个元素，它的张成不变（因为这个去除的元素可以由其他的表出），这个也可以来证明最开始的特点3。

这里我们来定义线性基：

线性基

我们称一个集合（基） $X$ 为 $S$ 的线性基，当且仅当：

$X$ 是线性无关的（如果线性相关的话，我们可以将一些可以表出的元素删除，因为要保证最小，所以必须线性无关）
$S\subseteq \rm span(B)$ ，也就是这个集合 $S$ 可以由 $X$ 线性表出（ $S$ 为 $X$ 的张成子集）。

性质

$X$ 是最小的满足条件的集合，它的任何真子集都不可能是新的线性基，因为少了任何一个元素，那么由于线性无关，这个元素就不能被剩下的表出了，那么就不符合条件2。
$S$ 中的任意元素都可以被 $X$ 线性表出。（其实也就是条件2）

构造

我们这里只讲在异或的运算下如何快速构造：

对于一个无符号（非负数）整数集 $S$ ，我们令它的元素最大二进制位的个数为 $L$ ，我们可以发现，只需对于每一位存储一个元素，那么就可以表出所有的了，所以我们可以构造一个 $log(\max\{s_i\})$ 大小的线性基。

构造方式为将每个元素 $s_i$ 插入线性基，那么复杂度就为 $O(|S|log(\max\{s_i\}))$

所以我们令 $X$ 为其线性基，那么可以安照如下方式构造：

从高位到低位扫描 $s_i$ ：

当 $x_i=0$ 时且 $s_i$ 第 $i$ 位为 $1$ ，那么我们令 $x_i=s_i$ ，然后即可停止扫描，因为到插入 $s_i$ 为止，只有 $s_i$ 能表出第 $i$ 位的 $1$ 。
当 $x_i\not=0$ 时，由于这一位已经可以表出了，所以我们将 $s_i$ 异或上这一位的值，继续扫描（因为要保证可以表出每一位且线性无关）。

那么构造方式就是这样，代码实现非常简单，如下：

void insert(int si){
	for(int i=maxbit;i>=0;i--){
		if(!(si>>i)&1) continue;
		if(!X[i]){X[i]=si;return;}
		si^=X[i];
	}
}

对于合并两个线性基，就是将一个线性基中的元素插入另一个，复杂度为 $(log(\max\{s_i\}))^2$

应用

给出你一个集合 $S$ ，和一个数字 $a$ ，让你求 $a\ xor\ s_i$ 最大：其实这个就扫一遍 $s_i$ 即可，不用线性基。
给出你一个集合 $S$ ，和一个数字 $a$ ，让你判断这个集合能否表出（异或出） $a$ ：先求出线性基，我们就从二进制高位到低位扫描，如果第 $i$ 位为 $1$ ，那么就将 $a\ xor\ x_i$ ，如果最终 $a=0$ 则表示可以（也就是看能否插入线性基，如果不能插入则就可以表示出来，根据线性基的定义即可知道）。
给你一个集合 $S$ ，求出这个集合能够异或出的最大值：我们求出 $S$ 的线性基，然后扫一遍，每次取 $ans=\max\{ans,ans\ xor\ x_i\}$ 即为答案。

End

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~~萌新才学QWQ~~

洛谷模板IN

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=65;
ll rec[M],a,ans;
void insert(ll a){
	for(int i=61;i>=0;i--){
		if(!(a>>i)&1) continue;
		if(!rec[i]){rec[i]=a;return;}
		a^=rec[i];
	}
}
ll getmax(){
	for(int i=61;i>=0;i--)ans=max(ans,ans^rec[i]);
	printf("%lld\n",ans);
}
int n;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a),insert(a);
	getmax();
	return 0;
}

参考学习博客：

【menci-Orz%%%】
【ljh2000-Orz%%%】

线性基简单学习笔记

线性基

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