SSL-1249 思考过程

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题目

求 $gcd(a,b)=a\ xor\ b$， $a,b\in[1..n]$的方案数

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思路1

设 $c=gcd(a,b)=a\ xor\ b$
到这30分，具体做法：暴力O(n^2logn)
$\because a\ xor\ b=c$
$\therefore a\ xor\ c=b$
$\therefore gcd(a,a\ xor\ c)=a\ xor\ b$
$\therefore gcd(a,a\ xor\ c)=c$
到这60分，具体做法：此时已经知道a是c的倍数，枚举c和c的倍数即可，加上gcd的复杂度O(nlog2n)
$\because gcd(a,b)\leq a-b,a\ xor\ b\geq a-b$
$\therefore c=a-b$
$\therefore b=a-c$
$\therefore gcd(a,b)=gcd(a,a-c)=c$
$\because gcd(a,a\ xor\ c)=c$
所以当且仅当 $a-c=a\ xor\ c$时 $gcd(a,a-c)=c$
到这100分，具体做法：同样知道a是c的倍数，但此时不需要计算gcd，复杂度O(nlogn)

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思路2(非正确，仅供参考)

首先 $a\geq b$，所以有
$1<=a\ xor\ b<2^{([log_2a]+1)}$
$1<=gcd(a,b)<=b$

枚举a,b的最大公约数，同时这也是 $a\ xor\ b$的值，计算解数

$gcd(x,y)=i$
$x\ xor\ y=i$

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下面是作者闲的无聊推的一些乱七八糟的东西

若 $i=1$，则 $gcd(x,y)=1$，即 $x,y$互质
同时 $x\ xor\ y=1$,表示 $x,y$一个为奇数，一个为偶数，所以得到在二进制下
$x$最后一位是1或0，且与y相反，其它位全是1或0
$y$最后一位是1或0，且与x相反，其它位全是1或0
当x在二进制下最后一位是1，时
$x=1$或 $x=2^k-1$ 解析: $(1111111)_2=(10000000)_2-1$
$y=0$或 $y=2^k-2$ 解析: $(1111110)_2=(10000000)_2-2$
$\because y\in [1..n]$
$\therefore x=2^k-1,y=2^k-2$
又 $\because k\leq 2^{([log_2n]+1)}$
$\therefore$ 一共有 $[log_2n]+1$组解

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当 $i=2$，则 $gcd(x,y)=x\ xor\ y=2$
所以 $x,y$在二进制下一定是形如这样的形式
$x=000010$
$y=000000$
或
$x=111110$
$y=111100$
$\because y\in [1..n]$
$\therefore$ 第一种情况不存在
$\therefore x=2^k-2,y=2^k-4$
$\therefore$ 同样有 $[log_2n]+1$组解

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剩下的由于作者能力有限，推不出来了，于是就放弃了。。。

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