解题笔记（25）——把数组排成最小的数

问题描述：输入一个正整数数组，将它们连接起来排成一个数，输出能排出的所有数字中最小的一个。例如输入数组{32, 321}，则输出这两个能排成的最小数字32132。请给出解决问题的算法，并证明该算法。

思路：先将整数数组转为字符串数组，然后字符串数组进行排序，最后依次输出字符串数组即可。这里注意的是字符串的比较函数需要重新定义，不是比较a和b，而是比较ab与 ba。如果ab < ba，则a < b；如果ab > ba，则a > b；如果ab = ba，则a = b。比较函数的定义是本解决方案的关键。

证明：为什么这样排个序就可以了呢？简单证明一下。根据算法，如果a < b，那么a排在b前面，否则b排在a前面。可利用反证法，假设排成的最小数字为xxxxxx，并且至少存在一对字符串满足这个关系：a > b，但是在组成的数字中a排在b前面。根据a和b出现的位置，分三种情况考虑：

（1）xxxxab，用ba代替ab可以得到xxxxba，这个数字是小于xxxxab，与假设矛盾。因此排成的最小数字中，不存在上述假设的关系。

（2）abxxxx，用ba代替ab可以得到baxxxx，这个数字是小于abxxxx，与假设矛盾。因此排成的最小数字中，不存在上述假设的关系。

（3）axxxxb，这一步证明麻烦了一点。可以将中间部分看成一个整体ayb，则有ay < ya，yb < by成立。将ay和by表示成10进制数字形式，则有下述关系式，这里a，y，b的位数分别为n，m，k。

关系1： ay < ya => a * 10^m + y < y * 10^n + a => a * 10^m - a < y * 10^n - y => a( 10^m - 1)/( 10^n - 1) < y

关系2： yb < by => y * 10^k + b < b * 10^m + y => y * 10^k - y < b * 10^m - b => y < b( 10^m -1)/( 10^k -1)

关系3： a( 10^m - 1)/( 10^n - 1) < y < b( 10^m -1)/( 10^k -1) => a/( 10^n - 1)< b/( 10^k -1) => a*10^k - a < b * 10^n - b =>a*10^k + b < b * 10^n + a => a < b

这与假设a > b矛盾。因此排成的最小数字中，不存在上述假设的关系。

综上所述，得出假设不成立，从而得出结论：对于排成的最小数字，不存在满足下述关系的一对字符串：a > b，但是在组成的数字中a出现在b的前面。从而得出算法是正确的。

参考代码：

//重新定义比较函数对象
struct compare
{
	bool operator() (const string &src1, const string &src2)
	{
		string s1 = src1 + src2;
		string s2 = src2 + src1;
		return s1 < s2;   //升序排列，如果改为s1 > s2则为逆序排列
	}
};
//函数功能 ： 把数组排成最小的数
//函数参数 ： pArray为数组,num为数组元素个数  
//返回值 ：   无
void ComArrayMin(int *pArray, int num)
{
	int i;
	string *pStrArray = new string[num];

	for(i = 0; i < num; i++) //将数字转换为字符串
	{	
		stringstream stream;
		stream<<pArray[i];
		stream>>pStrArray[i];
	}

	sort(pStrArray, pStrArray + num, compare()); //字符串数组排序

	for(i = 0; i < num; i++) //打印字符串数组
		cout<<pStrArray[i];
	cout<<endl;

	delete [] pStrArray;
}

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