贪心是一种奇妙的算法，能将\(O(n^2)\)、\(O(n^3)\)的dp，\(O(2^n)\)、\(O(n!)\)的爆搜直接化成\(O(n)\)。
国王游戏 link
本题需要高精，在此不细讲。
分析
我们考虑两个大臣\(p_1,p_2\)，它们站在国王\(p_0\)的身后，则这两个大臣有两种排列方案：
| person | left | right |
|---|---|---|
| \(p_0\) | \(a_0\) | \(b_0\) |
| \(p_1\) | \(a_1\) | \(b_1\) |
| \(p_2\) | \(a_2\) | \(b_2\) |
| person | left | right |
|---|---|---|
| \(p_0\) | \(a_0\) | \(b_0\) |
| \(p_2\) | \(a_2\) | \(b_2\) |
| \(p_1\) | \(a_1\) | \(b_1\) |
对于第一种情况，答案\(ans_1=\max(\frac{a_0}{b_1},\frac{a_0a_1}{b_2})\)
对于第二种情况，答案\(ans_2=\max(\frac{a_0}{b_2},\frac{a_0a_2}{b_1})\)
显然，\(\frac{a_0a_1}{b_2}>\frac{a_0}{b_2},\frac{a_0a_2}{b_1}>\frac{a_0}{b_1}\)
若\(ans_1<ans_2,\because \frac{a_0a_2}{b_1}>\frac{a_0}{b_1},\therefore \frac{a_0a_2}{b_1}\)必须\(>\frac{a_0a_1}{b_2}\)
即 \(\frac{a_2}{b_1}>\frac{a_1}{b_2}\) 即 \(a_1b_1<a_2b_2\)
因此，若\(a_1b_1<a_2b_2\)，就有\(p_1\)排在\(p_2\)前更优。
按照上述条件sort一遍，再计算答案即可。
Code
#include<cstdio>
#define maxn 4010
using namespace std;
class hp{
public:
int a[maxn];
hp(){memset(a,0,sizeof(a));}
void clear(){memset(a,0,sizeof(a));}
hp(int x){
clear();
while(x){
a[++a[0]]=x%10;
x/=10;
}
while(a[a[0]]==0&&a[0])a[0]--;
}
hp& operator=(int x){
clear();
while(x){
a[++a[0]]=x%10;
x/=10;
}
while(a[a[0]]==0&&a[0])a[0]--;
return *this;
}
short cmp(const hp& x){
if(a[0]>x.a[0])return 1;
if(a[0]<x.a[0])return -1;
for(register int i=a[0];i>=1;i--){
if(a[i]>x.a[i])return 1;
if(a[i]<x.a[i])return -1;
}
return 0;
}
bool operator>(const hp& x){
return cmp(x)==1;
}
bool operator==(const hp& x){
return cmp(x)==0;
}
bool operator<(const hp& x){
return cmp(x)==-1;
}
bool operator>=(const hp& x){
return !(*this<x);
}
bool operator<=(const hp& x){
return !(*this>x);
}
hp operator-(const hp& x){
hp a=*this,c;
c.a[0]=a.a[0]>x.a[0]?a.a[0]:x.a[0];
for(register int i=1;i<=c.a[0];i++) {
c.a[i]+=a.a[i]-x.a[i];
if(c.a[i]<0){c.a[i]+=10;a.a[i+1]--;}
}
while(c.a[c.a[0]]==0&&c.a[0])c.a[0]--;
return c;
}
hp operator*(const hp& x){
hp c;
for(register int i=1;i<=a[0];i++){
for(register int j=1;j<=x.a[0];j++){
c.a[i+j-1]+=a[i]*x.a[j];
}
}
c.a[0]=a[0]+x.a[0];
for(register int i=1;i<=c.a[0];i++){
if(c.a[i]>=10){
c.a[i+1]+=c.a[i]/10;
c.a[i]%=10;
}
}
while (c.a[c.a[0]]==0&&c.a[0]>0)c.a[0]--;
return c;
}
hp operator/(const int& x){
hp c;
int t=0,s=0;
bool flag=1;
for(register int i=a[0];i>=1;i--){
t=s*10+a[i];
if(t/x>0||t==0){
c.a[++c.a[0]]=t/x;
s=t%x;
flag=0;
}
else{
s=t;
if(!flag)c.a[++c.a[0]]=0;
}
}
reverse(c.a+1,c.a+c.a[0]+1);
return c;
}
};
struct node{
int a,b;
};
node a[1001];
bool cmp(node x,node y){
return x.a*x.b<y.a*y.b;
}
void checkmax(hp& x,hp y){
if(x<y)x=y;
}
int main(){
int n;scanf("%d",n);
for(register int i=0;i<=n;i++){
scanf("%d%d",a[i].a,a[i].b);
}
sort(a+1,a+n+1,cmp);
hp ans=0,ji=a[0].a;
for(register int i=1;i<=n;i++){
checkmax(ans,ji/a[i].b);
ji=ji*a[i].a;
}
if(ans.a[0]==0)putchar('0');
else for(register int i=ans.a[0];i>=1;i--)
putchar(ans.a[i]+'0');
return 0;
}补充题目：打CF
题意
一场CF比赛，时间为\(T\)分钟，有\(N\)道题，可以在比赛时间内的任意时间提交代码
第\(i\)道题的分数为\(maxPoints[i]\),题目的分数随着比赛的进行，每分钟减少\(pointsPerMinute[i]\)
这是一场比较dark的CF，分数可能减成负数
已知第\(i\)道题需要花费\(requiredTime[i]\)的时间解决
请问最多可以得到多少分
数据范围
\(1\le N\le 50,1\le T\le 100000,\)
\(1\le maxPoints[i],pointsPerMinute[i],requiredTime[i]\le 100000\)
分析
贪心思维题。
声明：在下面的分析中，我们约定
#define a maxPoints
#define b pointsPerMinute
#define c requiredTime我们考虑两道题\(p_1,p_2\)，则先做\(p_1\)再做\(p_2\)能获得的分数为\[a_1-b_1c_1+a_2-b_2(c_1+c_2)\]先做\(p_2\)再做\(p_1\)能获得的分数为\[a_2-b_2c_2+a_1-b_1(c_2+c_1)\]
答案为\(ans_1,ans_2\)
若\(ans_1<ans_2\)，则
\(a_1-b_1c_1+a_2-b_2(c_1+c_2)<a_2-b_2c_2+a_1-b_1(c_2+c_1)\)，
\(<=> b_2c_1>b_1c_2\)
而\(ans_1<ans_2\)代表\(p_2\)放在\(p_1\)前更优，因此，使得\(p_1\)放在\(p_2\)前更优的条件是\[b_2c_1<b_1c_2\]
按照此条件对每一道题排序。
设做掉题目\(p_i\)的时刻为\(time\)，则\(p_i\)的实际得分为\[a_i-b_i* time\]
但由于比赛有时间限制，且题目最终得分可能为负数，因此，需要使用01背包来选择。转移方程：
\[dp[j]=dp[j-c[i]]+a[i]-b[i]* j\]
Code
#include<cstdio>
#define maxn 55
#define maxt 100005
using namespace std;
typedef long long D;
inline D max(D x,D y){return x>y?x:y;}
D a[maxn],b[maxn],c[maxn],tot,dp[maxt],ans;
int cnt,n,t[maxn];
bool cmp(int i,int j){
return b[j]*c[i]<b[i]*c[j];
}
int main(){
scanf("%d%lld",n,tot);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",a[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",b[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",c[i]),t[i]=i;
sort(t+1,t+n+1,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=tot;j>=c[t[i]];j--){
dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[t[i]]]+a[t[i]]-b[t[i]]*j);
ans=max(ans,dp[j]);
}
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}