题意 : 中文题
分析 :
首先引入两篇写的很好的题解
听说这种和异或相关区间求和的问题都尽量按位考虑
首先第一问、按二进制位计贡献的话、那么对于第 k 位而言
其贡献 = 区间异或和第 k 位为 1 的子区间个数 * 2^k
而能产生贡献的子区间必定满足 xorSum(R) ^ xorSum(L-1) 第 k 位为 1
注 : xorSum 为前缀异或和
要快速计算这个东西其实很简单、先计算出 xorSum
然后枚举右端点 R 、累计到目前为止每个位的 0 和 1 的数量
就能做到 O(1) 转移
假设 xorSum(R) 的第 k 位为 0
那么其贡献就应该为前面所有累计的 1 的数量 * 2^k
第二问就稍许复杂了些、但大体思路也是使用按位计贡献的思路
如果一个区间的所有子区间之和的第 k 位为 1 的话、那么所有子区间的和
在第 k 位上为 1 的子区间个数应当为奇数
也就是说 PreSum(R) - PreSum(L-1) 第 k 位为 1、这样子的二元组 (L、R) 有奇数个
注 : PreSum(i) 为前缀和
“PreSum(R) - PreSum(L-1) 第 k 位为 1”
这句话可以用一个不等式来表示
( PreSum(R) - PreSum(L-1) ) mod (2^(k+1)) ≥ 2^k
( 假设最后一位为第 0 位、即 k 从 0 开始算 )
原理可以这样子思考、你想你在十进制下截取一个数的后 k 位用什么办法？
是不是直接 mod 10^(k+1) ( 假设最后一位为第 0 位 )
二进制下也是一样的道理
不过模数涉及到减法就可能产生负数、需要对结果另加模数
那么对上述式子进行变形、有两种满足条件
可以发现如果枚举右端点的话、那么就是统计满足条件的 PreSum(L-1) mod 2^(k+1) 的个数了
那么由于是不等关系、那么可以先离散化所有的 PreSum(L-1) mod 2^(k+1) 值
存进去树状数组中便可轻易统计数量
不过与其算出数量再来判断奇偶、官方题解给出了更为巧妙的实现方法
也是用到了异或的性质、把树状数组存的值变成前缀异或和
那么如果查询的异或和是 1 那么说明是奇数、否则是偶数、可以看程序去体会一下
有一点要注意、就是离散的值都是 PreSum[i] mod 2^(k+1)
所以在二分查找的时候、可能不会在离散化后的数组里面找到相对应的值
那么要将它的贡献放入树状数组当中的话就要二分查找出一个 ≤ 它的位置、然后去异或 1
#include<bits/stdc++.h> #define LL long long #define ULL unsigned long long #define scl(i) scanf("%lld", &i) #define scll(i, j) scanf("%lld %lld", &i, &j) #define sclll(i, j, k) scanf("%lld %lld %lld", &i, &j, &k) #define scllll(i, j, k, l) scanf("%lld %lld %lld %lld", &i, &j, &k, &l) #define scs(i) scanf("%s", i) #define sci(i) scanf("%d", &i) #define scd(i) scanf("%lf", &i) #define scIl(i) scanf("%I64d", &i) #define scii(i, j) scanf("%d %d", &i, &j) #define scdd(i, j) scanf("%lf %lf", &i, &j) #define scIll(i, j) scanf("%I64d %I64d", &i, &j) #define sciii(i, j, k) scanf("%d %d %d", &i, &j, &k) #define scddd(i, j, k) scanf("%lf %lf %lf", &i, &j, &k) #define scIlll(i, j, k) scanf("%I64d %I64d %I64d", &i, &j, &k) #define sciiii(i, j, k, l) scanf("%d %d %d %d", &i, &j, &k, &l) #define scdddd(i, j, k, l) scanf("%lf %lf %lf %lf", &i, &j, &k, &l) #define scIllll(i, j, k, l) scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d", &i, &j, &k, &l) #define lson l, m, rt<<1 #define rson m+1, r, rt<<1|1 #define lowbit(i) (i & (-i)) #define mem(i, j) memset(i, j, sizeof(i)) #define fir first #define sec second #define VI vector<int> #define ins(i) insert(i) #define pb(i) push_back(i) #define pii pair<int, int> #define VL vector<long long> #define mk(i, j) make_pair(i, j) #define all(i) i.begin(), i.end() #define pll pair<long long, long long> #define _TIME 0 #define _INPUT 0 #define _OUTPUT 0 clock_t START, END; void __stTIME(); void __enTIME(); void __IOPUT(); using namespace std; const int maxn = 1e5 + 10; const int mod = 998244353; int n; int ans1; int xorSum[maxn]; int c[maxn]; int arr[maxn]; LL id[maxn]; LL PreSum[maxn]; LL ans2; LL one[maxn][35]; LL zero[maxn][35]; inline void BitAdd(int i) { while(i <= n + 5){ c[i] ^= 1; i += lowbit(i); } } int BitSum(int i) { if(i <= 0) return 0; int ret = 0; while(i > 0){ ret ^= c[i]; i -= lowbit(i); }return ret; } int idx(LL key) { int L = 0, R = n; int ret = -1;///过滤掉负数的情况、key<0 <=> ret+1 = 0 ///在树状数组里面不产生贡献 while(L <= R){ int M = L + R >> 1; if(id[M] <= key) ret = M, L = M + 1; else R = M - 1; }return ret + 1; } int main(void){__stTIME();__IOPUT(); sci(n); for(int i=1; i<=n; i++){ sci(arr[i]); xorSum[i] = xorSum[i-1] ^ arr[i]; PreSum[i] = PreSum[i-1] + arr[i]; } for(int i=0; i<30; i++) zero[0][i] = 1LL; for(int i=1; i<=n; i++){ for(int j=0; j<30; j++){ one[i][j] = one[i-1][j]; zero[i][j] = zero[i-1][j]; if((xorSum[i] & (1LL<<j))){ one[i][j]++; ans1 += zero[i-1][j] * 1LL * (1LL<<j) % mod; if(ans1 >= mod) ans1 -= mod; }else{ zero[i][j]++; ans1 += one[i-1][j] * 1LL * (1LL<<j) % mod; if(ans1 >= mod) ans1 -= mod; } } } for(int j=0; (1LL<<j)<=PreSum[n]; j++){ int res = 0; for(int i=0; i<=n; i++) id[i] = PreSum[i] & ((1LL << j + 1) - 1); sort(id, id+n+1); mem(c, 0); for(int i=0; i<=n; i++){ LL cur = PreSum[i] & ((1LL<< j + 1) - 1); BitAdd(idx(cur)); res ^= BitSum(idx(cur - (1LL<<j))) ^ BitSum(idx(cur + (1LL<<j))) ^ BitSum(idx(cur)); } if(res) ans2 |= 1LL << j; } printf("%d %lld\n", ans1, ans2); __enTIME();return 0;} void __stTIME() { #if _TIME START = clock(); #endif } void __enTIME() { #if _TIME END = clock(); cerr<<"execute time = "<<(double)(END-START)/CLOCKS_PER_SEC<<endl; #endif } void __IOPUT() { #if _INPUT freopen("in.txt", "r", stdin); #endif #if _OUTPUT freopen("out.txt", "w", stdout); #endif }