模乘逆元与孙子定理
孙子定理也称为中国剩余定理。
《孙子算经》卷下第二十六题（“物不知数”问题）：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
孙子定理讲的是求解一元线性同余方程组的方法。
有人指出，孙子定理有以下5种解法：
1.枚举法
2.解不定方程法
3.逐级满足法
4.化为相同除数的同余式法
5.经典同余式方程组解法
据说最为简洁快速的是第4种方法。
这里介绍的程序为第5种解法。
要得到解x，首先需要计算模乘逆元。模乘逆元定义为：
满足 ab≡1（mod m)，称b为a模乘逆元。
程序中给出了两种求模乘逆元的方法，一种是穷举法，此法对于模值较大时是一种低效率的方法；另外一种是利用扩展欧几里得算法求逆元。
求得模乘逆元之后，就可以算出同余方程组的解。
“物不知数”问题的一个解为23（最小值解），其解系为x=23+105k(k>=0)（105=3*5*7）。
#include<stdio.h>
// 递推法实现扩展欧几里德算法
long exgcd(long a,long b,long *x,long *y)
{
long x0=1,y0=0,x1=0,y1=1;
long r,q;
*x=0;
*y=1;
r=a%b;
q=(a-r)/b;
while(r)
{
*x=x0-q*x1;
*y=y0-q*y1;
x0=x1;
y0=y1;
x1=*x;
y1=*y;
a=b;
b=r;
r=a%b;
q=(a-r)/b;
}
return b;
}
// 扩展欧几里德算法求逆元
long minv(long a,long p)
{
long x,y;
exgcd(a,p,&x,&y);
return x<0?x+p:x;
}
// 试探法求逆元
long minv2(long a,long p)
{
long y=1,t;
int i;
if(a<0){
a=a%p;
a+=p;
}
for(i=1;i<p;i++){
t=a*i;
if(t%p==1){
y=i;
return y;
}
}
return y;
}
int main(void)
{
printf("a=%d m=%d x=%ld x=%ld\n",65,83,minv(65,83),minv2(65,83));
printf("a=%d m=%d x=%ld x=%ld\n",11663,103,minv(11663,103),minv2(11663,103));
printf("a=%d m=%d x=%ld x=%ld\n",11227,107,minv(11227,107),minv2(11227,107));
printf("a=%d m=%d x=%ld x=%ld\n",11021,109,minv(11021,109),minv2(11021,109));
long a[]={2,3,2};
long m[]={3,5,7};
int i,size=sizeof(a)/sizeof(long);
long bm=1,subm[size],x=0;
for(i=0;i<size;i++)
bm*=m[i];
for(i=0;i<size;i++)
subm[i]=bm/m[i];
for(i=0;i<size;i++){
x+=subm[i]*minv(subm[i],m[i]*a[i]);
x%=bm;
}
printf("x=%ld\n",x);
return 0;
}
结果：
