HNOI2012 题解
[HNOI2012]永无乡
Tag：线段树合并、启发式合并
联通块合并问题。
属于\(easy\)题，直接线段树合并 或 启发式合并即可。
[HNOI2012]排队
Tag：组合数学、高精度
因为男生没有限制，首先把男生排成一列。
然后分情况讨论：
两个老师之间有男生：
首先把两个老师插入到\(n\)个男生中，方案数\(\binom{n+1}{2}\) 。
然后把女生插入到老师与男生中，方案数\(\binom{n+3}{m}\)。两个老师之间无男生：
那么两个老师之间只能是一个女生，所以把该女生与老师绑在一起。
然后把绑在一起的三人插入到男生中，方案数\(\binom{n+1}{1}\) 。
再把剩下的女生插入到已经形成的队列中(不能两个老师之间)，方案数\(\binom{n+2}{m-1}\)。
注意每个人有区别，所以最后乘\(n!m!2!\) ，需要些高精度。
[HNOI2012]集合选数
Tag：构造、状压DP
对于最小为计数的点\(x\)，构造矩阵：
\(x\ \ \ 3x\ \ \ 9x\ ....\)
\(2x\ 6x\ \ 18x\ ....\)
\(4x\ 12x\ 36x\ ....\)
然后相当于不能选择矩阵中相邻的元素。
注意到该矩阵的大小最多只有\(17*11\)，直接暴力状压即可。
[HNOI2012]矿场搭建
Tag：贪心、割点
把所有的割点求出来，
并把割点删去后把图分成很多联通块，割点算作一个单独联通块。
对于一个联通块，考虑其连接的割点个数。
若割点个数为0
若联通块大小为\(1\)，那么显然只需要放一个。
若联通块大小大于\(1\)，则需要放两个，以防放置点被炸毁。- 若割点个数为\(1\)，需要放置一个，以防割点被炸毁。
若割点个数大于\(1\)，不需要放置。
因为无论哪个割点被炸毁，都可以通过其他割点进行逃生。
方案数什么的用联通块大小算一算即可。
[HNOI2012]双十字
Tag：DP、计数
枚举每一列为中轴，对每一列单独做一遍计数。
枚举下面的横梁中点，最长延伸长度为\(l_2\)，设上面的的横梁中点最长延伸长度为\(l_1\)。
讨论：
- \(l_1 > l_2\) 方案数为\(\frac{l_2(l_2-1)}{2}\)
- \(l_1 \leq l_2\) ，直接算方案数不好算，考虑总方案减不合法。
总方案数为\(l_1 * l_2\) 。
不合法方案数\(\frac{l_1(l_1+1)}{2}\)
故方案数为\(l_1*l_2 - \frac{l_1(l_1+1)}{2}\) 。
可以看出树状数组维护即可。
至于向上、向下延伸的方案数对应的乘一下就行了。
[HNOI2012]与非
Tag：构造、思维
考虑我们用与非这个运算可以干什么。
- \(notand(a,b) = not(a\ and\ b)\)
- \(and(a,b) = not(a\ notand\ b)\)
- \(notand(notand(a,a) , a)\) 为一个每一位都为\(1\)的数，然后就可以做\(not\)了。
- \(not((not\ a)\ and\ (not\ b))=a\ or\ b\)
所以我们有了与非运算后，可以做\(\&\)、\(|\)、\(not\)三种操作。
然后我们就可以构造类似线性基的基础元了。
注意到，若某两位\((i,j)\)对于\(n\)个数都满足这两位相等，那么运算后这两位也一定相等。
对于没有限制的单位，我们一定可以构造一个只有该位为\(1\)的基础元。
构造：首先把该位不为\(1\)的数全部\(not\)，然后把\(n\)个数全部\(and\)起来。
此时一定只有该位为\(1\)，若其它为也有\(1\)，则说明这两位是有限制的，与前提条件矛盾。
对于有限制的，类似方法可以构造出只有这些为位\(1\)的基础元。
然后依旧考虑线性基的原理，
我们问题变为：用这些基础元通过\(or\)运算可以构造出多少小于等于\(N\)的数。
从高位往低位，若当前位未被确定并且可以放，则有两种决策，答案直接加上不放的方案数即可。
当前位的确定关系以及限制关系用并查集维护一下就行了。
感觉这题还是比较难的......