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首先，题目中已经说得很明确了（按照常理也是）。
当有
m个包，你第
k个抢。
k>m的话。显然，平时会显示：
来晚了一步，红包已经被领完了
就是，已经被第
m个及之前的人领完了。所以说，期望是
0。
然后，看
k<=m的时候。
我们构造一个函数
f(a,b,c)表示剩余a元，还有b个包，你在第c个抢得到的期望
于是，我们就有一个期望的转移：
f(n,m,k)=2nm∗∫0m2nf(n−x,m−1,k−1) dx
特别的，当
k=1时
f(a,b,1)=2ab∗∫0b2ax dx
m=1时，我们这一类里，只有
m=k=1，
f(a,1,1)=a
然后我们展开来看：
当
k!=m时
:
f(n,m,k)=2nm∗∫0m2n2(n−x1)m−1∫0m−12(n−x1)2(n−x1−x2)m−2 …… 2(n−x1...−xk−2)m−k+2∫0m−k+22(n−x1...−xk−2)2(n−x1...−xk−1)m−k+1∫0m−k+12(n−x1...−xk−1)xk dxk dxk−1... dx1
当
k=m时，积分到：
2(n−x1...−xm−2)2∫022(n−x1...−xm−2)xm−1 dxm−1 dxm−2... dx1
就可以了。
然后
……
这怎么做？！！！
k重积分啊，套自适应性辛普森积分？
数据范围一看，
T了啊。
好吧好吧，我们化简一下看看。
先只看后两项：
$\frac{m-k+2}{2(n-x_{1}…-x_{k-2})}\int_{0}{\frac{2(n-x_{1}…-x_{k-2})}{m-k+2}}\frac{m-k+1}{2(n-x_{1}…-x_{k-1})}\int_{0}{\frac{2(n-x_{1}…-x_{k-1})}{m-k+1}}x_{k} \ d_{x_{k}}\ d_{x_{k-1}} $
我们开始化简：
2(n−x1...−xk−2)m−k+2∫0m−k+22(n−x1...−xk−2)2(n−x1...−xk−1)m−k+1∗21∗[m−k+12(n−x1...−xk−1)]2xk dxk dxk−1
2(n−x1...−xk−2)m−k+2∫0m−k+22(n−x1...−xk−2)m−k+1(n−x1...−xk−1)
然后，把常数
m−k+11提出来，继续拆一个积分号，这里就不写了。
希望自己找一张草稿纸写一下。
神奇的发现。
竟然是那么的相似。
我们很显然的利用数学归纳法。
直接按照相似的公式积第一项，把常数也按照规律写下来。
积分之后，把所有常数消去。
神奇的发现：
f(n,m,k)=mn
mmp!!!
(感受到了世界的深深的恶意)
是不是我们算错了？
好，现在请拿起身边的卡西欧计算器。
我们试试样例一：
n=100,m=10,k=3
我们把
k=1,2,3都试一下。
mn=10
k=1 :
f(100,10,1)=201 ∫020x dx=10
k=2 :
f(100,10,2)=201∫0202(100−x1)9∫092(100−x1)x2 dx2 dx1
=201∫0209(100−x1) dx1 =1801∫020(100−x1) dx1=10
k=3 : 算出来也是
10
哇
……
好吧，这道题就是
mn了，
O1搞出来了。
END。