2-5、插值

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一、概述

  插值是最常用的数据处理方法之一。
  假设有一组已知数据，现缺失其中一个数据，或要求评估其中两个数据间的一个点的值，此时便可使用插值方法。
  一般而言，在做题时并不会直接对所有数据进行拟合、插值操作，而是需先结合一些其他的数据预处理知识，如去除数据噪声，再进行拟合、插值等操作。这样所得结果才会更加科学、准确。
  插值是一个大的概念，其中又分为许多种具体的插值方法。在具体问题中，应根据实际情况具体分析，选用合适的方法。

  本节省略了部分准确的数学定义与证明，建议结合相关书本学习。

二、一维插值

1、拉格朗日插值

（1）定义
  拉格朗日插值多项式公式为：

$$P_n(x)=\sum_{i=0}^nl_i(x)y_i$$

  其中 $l_i(x)$ 为 $n$ 次多项式（称为拉格朗日插值基函数）：

$$l_i(x)=\prod_{i=0,i\neq j}^k\frac{x-x_i}{x_j-x_i}\\=\frac{x-x_0}{x_j-x_0}…\frac{x-x_{j-1}}{x_j-x_{j-1}}\frac{x-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}}…\frac{x-x_k}{x_j-x_k}$$

  具体使用方法与分析可参考本文：https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6833391.html

（2）拉格朗日插值的matlab实现

  设$n$个节点数据以数组$x_0,y_0$输入（注意Matlab的数组下标从1开始），$m$个插值点以数组$x$输入，输出数组$y$为$m$个插值。编写一个名为$lagrange.m$的函数文件：

%拉格朗日函数插值实现，输入x0,y0为已知数据，x为待插值点，输出y为待插点结果
function y=lagrange(x0,y0,x)
n=length(x0);
m=length(x);
for i=1:m
    z=x(i);
    s=0.0;
    for k=1:n
        p=1.0;
        for j=1:n
            if j~=k
                p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
            end
        end
        s=p*y0(k)+s;
    end
    y(i)=s;
end

（3）关于插值次数的讨论
  在拟合、插值中，取较高的次数往往能使已知数据点范围内的误差减小，但并不是次数越高越好。如同拟合中次数过高容易出现过拟合问题，插值中取过高的次数也会出现相应问题。

高次插值的病体性质：
  在一定的区间内增加节点数能提高插值精度,但在某些情况下会出现很大偏差,一个突出的例子就是$C.Runge$1905年发现的函数：

$$f(x)=\frac 1 {1+x2}$$
   $f(x)$在 $[-5,5]$上的各阶导数均存在，取 $n+1$个等距节点 $$x_k=-5+10*\frac k n (k=0,1,…,n)$$

  原函数图像和1次、5次以及10次$Lagrange$插值函数图像如下所示：

  在$[-5,5]$范围内,若节点取得较少，则精度很低。但节点数增加后，只在区间的中心部分精度提高，即在$Ln(x)$只在$|x|≤3.63$内收敛,而在此区域外产生严重的振荡。称这种高频振荡的病态现象为龙格($Runge$)现象。

  因此使用高次多项式插值是危险的，在实际计算中不能使用高次插值。这反而启发我们使用分段插值方法，即将区间$[a,b]$分成一些小区间，在每一个小区间上用低次多项式进行插值。区间的剖份可以是任意的，各小区间上插值多项式的次数的选取也可按具体问题的要求而选择。分段低次多项式插值通常有较好的收敛性和稳定性，算法简单，但插值函数光滑性变差。常用的分段多项式插值法有两类：一类是下面将要介绍的分段线性插值法；另一类是三次样条插值法。

2、分段线性插值
  概括而言，分段线性插值即为只利用插值点左右的两个有效数据点，进行线性插值。
  实际上用数据点作插值计算时，分段线性插值就足够了，如数学、物理中用的特殊函数表，数理统计中用的概率分布表等。

  用Matlab实现分段线性插值不需要编制函数程序，Matlab中有现成的一维插值函数$interp1$

y=interp1(x0,y0,x,'method')
%method指定插值的方法：
%缺省时：分段线性插值
%'nearest' 最近项插值
%'linear' 线性插值
%'spline' 立方样条插值
%'cubic' 立方插值。

注：所有的插值方法要求$x0$是单调的，并且$xi$不能够超过$x$的范围。
当$x0$为等距时可以用快速插值法，使用快速插值法的格式为’*nearest’、’*linear’ 、’*spline’ 、’*cubic’。

三、二维插值

1、二维插值定义
  一维插值的特点是节点为一维实数组，插值函数是一元函数（曲线）。若节点是二维数组，则插值函数就是二元函数，即曲面。例如在某区域测量了若干点（节点）的高程（节点值），为了画出该区域较精确的等高线图，就要先插入更多的点（插值点），计算这些点的高程（插值），这就是一个二维插值问题。

2、二维插值方法
  常见的二维插值可分为网格节点插值和散乱节点插值。
  网格节点插值适用于节点比较规范的情况，即在包含所给节点的矩形区域内，节点由两族平行于坐标轴的直线的交点所组成。主要方法有：最邻近插值（选取待插值点最邻近已知数据点的函数值作为待插值节点的值）、分片线性插值和双线性插值。
  散乱节点插值适用于一般的节点，多用于节点不太规范（即节点为两族平行于坐标轴的直线的部分交点）的情况。

3、二维插值的Matlab实现
（1）网格节点数据的插值

z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method')

  其中$x0,y0$分别为$m$维和$n$维向量，表示节点，$z0$为$n *m$维矩阵，表示节点值，$x,y$为一维数组，表示插值点，$x$与$y$应是方向不同的向量，即一个是行向量，另一个是列向量，$z$为矩阵，表示得到的插值，$'method'$的用法同上面的一维插值（缺省时，为双线性插值）

（2）散点数据的插值

cz =griddata（x，y，z，cx，cy，‘method’）

  其中，$x,y$为表示节点，$cx,cy$表示插值点，$'method'$的用法同上面的一维插值。

三、例题

1、对函数 $y = xsinx$ 从0到10，步长为1 进行采样得到插值节点，利用线性插值给出步长为0.25的插值函数图像

x = 0:10;         % 节点
y = x.*sin(x);
xx = 1:0.25:10;   % 插值点
yy = interp1(x,y,xx);
plot(x,y,'kd',xx,yy)

2、在一天24小时内，从零点开始每隔2小时测得的环境温度数据分别为：
12， 9， 9， 1， 0， 18， 24， 28， 27， 25， 20, 18， 15， 13
推测中午13时的温度。

% 采用三次样条插值
x = 0:2:24;
y = [12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13];
a = 13;
y1 = interp1(x,y,a,'spline')
% 若要得到一天24小时的温度曲线
xi = 0:1/3600:24;
yi = interp1(x,y,xi,'spline');
plot(x,y,'o',xi,yi)

3、测得平板表面3*5网格点处的温度分别为：
82 81 80 82 84
79 63 61 65 81
84 84 82 85 86
试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。

% 先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图.
x=1:5;
y=1:3;
temps=[82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86];
mesh(x,y,temps)
% 以平滑数据,在x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值
xi=1:0.2:5;
yi=1:0.2:3;
zi=interp2(x,y,temps,xi',yi,'cubic');
mesh(xi,yi,zi)  

四、扩展阅读

关于三维以及n维插值方法http://www.cnblogs.com/aminxu/p/4643109.html