[Luogu P4735] [BZOJ 3261] 最大异或和

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题目描述

给定一个非负整数序列 $\{a\}$ ，初始长度为 $N$ 。

有 $M$ 个操作，有以下两种操作类型：

A x：添加操作，表示在序列末尾添加一个数 $x$ ，序列的长度 $N+1$ 。
Q l r x：询问操作，你需要找到一个位置pp，满足 $l \le p \le r$ ，使得： a[p] \oplus a[p+1] \oplus … \oplus a[N] \oplus xa[p]⊕a[p+1]⊕…⊕a[N]⊕x最大，输出最大是多少。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个整数 $N,M$ ，含义如问题描述所示。
第二行包含 $N$ 个非负整数，表示初始的序列 $A$ 。
接下来 $M$ 行，每行描述一个操作，格式如题面所述。

输出格式：

假设询问操作有 $T$ 个，则输出应该有 $T$ 行，每行一个整数表示询问的答案。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

4
5
6

说明

对于测试点 $1-2$ ， $N,M \le 5$ 。
对于测试点 $3-7$ ， $N,M \le 80000$ 。
对于测试点 $8-10$ ， $N,M \le 300000$ 。
其中测试点 $1, 3, 5, 7, 9$ 保证没有修改操作。
$0 \le a[i] \le 10^7$ 。

解题分析

直接处理后缀异或和不好办，我们维护前缀和，这样就成了 $[l-1,r-1]$ 中的一个元素和(指定元素 $xor$ 所有元素异或和)的最大异或和。

这个玩意当然可以用主席树二分每位贪心得到，然而这个复杂度是 $O(Nlog^2(N))$ 的，显然不是很优。

这里有一种更优雅的方法：可持久化 $Trie$ 树。我们按二进制下元素的每一位从高到低插入 $Trie$ 树里，按主席树的方法可持久化，查询时贪心走反方向即可。

注意这里有 $l=1$ 的情况，这个时候可以取所有元素，相当于在 $Trie$ 树上取到 $0$ ，需要特判。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define MX 300500
template <class T>
IN void in(T &x)
{
	x = 0; R char c = gc;
	for (; !isdigit(c); c = gc);
	for (;  isdigit(c); c = gc)
	x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48;
}
struct Node {int son[2], sum;} tree[MX << 6];
int n, m, cnt, pre[MX << 1], root[MX << 1];
namespace Trie
{
	void insert(int &now, R int pre, R int tar, R int digit)
	{
		now = ++cnt; R int id = (tar >> digit) & 1;
		tree[now] = tree[pre]; tree[now].sum++;
		if(digit < 0) return;//多插一层， 因为要有这个儿子上一层才能有贡献。
		insert(tree[now].son[id], tree[pre].son[id], tar, digit - 1);
	}
	int query(R int pre, R int now, R int tar, R int digit)
	{
		if(digit < 0) return 0;
		R int id = !((tar >> digit) & 1);
		if(tree[tree[pre].son[id]].sum < tree[tree[now].son[id]].sum)
		return (1 << digit) + query(tree[pre].son[id], tree[now].son[id], tar, digit - 1);
		else return query(tree[pre].son[id ^ 1], tree[now].son[id ^ 1], tar, digit - 1);
	}
}
char buf[5];
int main(void)
{
	int a, b, c;
	in(n); in(m);
	for (R int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		in(a); pre[i] = pre[i - 1] ^ a;
		Trie::insert(root[i], root[i - 1], pre[i], 26);
	}
	for (R int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		scanf("%s", buf);
		if(buf[0] == 'A')
		{
			in(a);
			pre[n + 1] = pre[n] ^ a; ++n;
			Trie::insert(root[n], root[n - 1], pre[n], 26);
		}
		else
		{
			in(a), in(b), in(c); --a, --b;
			if(!a) 	printf("%d\n", std::max(Trie::query(0, root[b], c ^ pre[n], 26), c ^ pre[n]));
			else printf("%d\n", Trie::query(root[a - 1], root[b], c ^ pre[n], 26));
		}
	}
	return 0;
}