[莫队]BZOJ 4542 [Hnoi2016]大数 题解

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题目大意

给出一个长度为 $N$的数字串和一个素数 $p$， $M$组数据求一段子串内为 $p$倍数的子串个数。

解题分析

先假设 $p$不为2和5，那么对于一个 $p$的倍数 $x$和一个位数为 $L$的数字 $y$，那么有

$x\ mod\ p=0$

$y\ mod\ p=z$

$(x*10^L+y)\ mod\ p=(x*10^L\ mod\ p+y\ mod\ p)\ mod\ p$

$=(x\ mod\ p*10^L\ mod\ p+z)\ mod\ p=z$

所以如果可以弄一个后缀和，那么发现如果 $sum[L]$和 $sum[R+1]$关于 $p$同余，那么子串 $s[L\dots R]$是p的倍数，所以题目变为找一段区间内 $sum$相等的对数。然后可以离线，明显莫队……

如果 $p$为2或5，那么可以直接查找，因为只要一个子串的最后一位是 $p$的倍数，那么这个数就是 $p$的倍数。所以只要有一个数，那么从以这个点为右端的所有的这个点到左端点之间的数都是 $p$的倍数。直接 $O(n)$预处理再 $O(1)$输出就行。

示例代码

题目传送门

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
int n,m,p,S,ha[100005],hsh[100005];
LL sum[100005],b[100005],k,ans[100005];
char s[100005];
struct data{
	int L,R,id,num;
	data (int L=0,int R=0,int id=0):L(L),R(R),id(id){num=S?(L-1)/S:0;}
	bool operator < (const data b)const{return num<b.num||(num==b.num&&R<b.R);}
}a[100005];
inline void readi(int &x){
	x=0; char ch=getchar();
	while ('0'>ch||ch>'9') ch=getchar();
	while ('0'<=ch&&ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
}
void _init(){
	freopen("bignum.in","r",stdin);
	freopen("bignum.out","w",stdout);
	readi(p); scanf("%s",s+1); n=strlen(s+1); readi(m); S=sqrt(n);
	for (int i=1,x,y;i<=m;i++){readi(x); readi(y); a[i]=data(x,++y,i);}
}
void _worka(){
	for (int i=1;i<=n;i++)
		{int pd=((s[i]-'0')%p==0); hsh[i]=hsh[i-1]+pd; sum[i]=sum[i-1]+pd*i;}
	for (int i=1;i<=m;i++)
	ans[i]=sum[a[i].R-1]-sum[a[i].L-1]-(a[i].L-1)*(hsh[a[i].R-1]-hsh[a[i].L-1]);
}
void _workb(){
	sort(a+1,a+m+1); sum[n+1]=k=0; memset(ha,0,sizeof(ha));
	LL f=1;	for (int i=n;i;i--){b[i]=sum[i]=(sum[i+1]+f*(s[i]-'0')%p)%p; f=f*10%p;}
	b[n+1]=0; sort(b+1,b+n+2); b[0]=unique(b+1,b+n+2)-b-1;
	for(int i=1;i<=n+1;i++) sum[i]=lower_bound(b+1,b+1+b[0],sum[i])-b;
	int L=1,R=0;
	for (int i=1;i<=m;i++){
		while (R<a[i].R) k+=ha[sum[++R]]++;
		while (L>a[i].L) k+=ha[sum[--L]]++;
		while (L<a[i].L) k-=--ha[sum[L++]];
		while (R>a[i].R) k-=--ha[sum[R--]];
		ans[a[i].id]=k;
	}
}
void _solve(){
	if (p==2||p==5) _worka(); else _workb();
	for (int i=1;i<=m;i++) printf("%d\n",ans[i]);
}
int main()
{
	_init();
	_solve();
	return 0;
}