P+XS算法中Dirac comb的解释

做遥感图像融合的小伙伴一定对P+XS算法不陌生，发表于【2006】年的《A Variational Model for P+XS Image Fusion》横空出世，在遥感图像融合领域介绍了一种全新的算法，可以说P+XS是第一个遥感图像融合的变分模型，在此之后各种变分模型陆续被发表来解决遥感图像融合问题，并取得了良好的效果。文中提出了3个假设并在此基础上设置了约束项。1）Pan是融合结果多光谱图像的线性组合；2）低分辨率的MS是由高分辨率MS卷积然后下采样得到的；3）MS光谱通道的几何形状包含在其全色图像的地形图中。
其中假设在日后的继续的研究中被证实是不精确的，这在wald在【2008】年发表的《Synthesis of Multispectral Images to High Spatial Resolution: A Critical Review of Fusion Methods Based on Remote Sensing Physics》一文中已经得到解释。
需要知道的是其实变分模型（model-based）就是基于一些假设来设计对应的能量函数，求解出的能量函数最小值就是问题的解。
这里不打算完整地介绍P+XS算法，只是对其中的光谱保持约束项进行讲解。即，其中∏s是Dirac comb，u是高分辨的图像，可以理解为融合结果，Mn是LMS上采样得到的图像。
我们将对Dirac comb进行讲解，按照Moller在【2009】年发表的《A Variational Approach for Sharpening High Dimensional Images》说法，Dirac comb指出高分辨率图像中哪些点来自于低分辨率的图像LMS。正如我们大家所了解的那样，由于Pan和LMS在维度上并不一致，所以在做图像融合之前还需要对LMS进行升维，使得其长宽和Pan一致，而一般升维都使用插值算法。插值之后的结果有一部分就是原始图像的像素值，而其他的则是根据插值算法估计得到的。
那么离散形式的Dirac comb如下图：

结合上图我们可以看出∏s使用1指出该点信息来自于LMS，而0则表示该点信息是插值得到的。