计数相关

Ramsey定理
环排列： $(n-1)!$
错排： $f[i]=f[i-1]*(i-1)+f[i-2]*(i-1)$

1

$n$ 个男生， $m$ 个女生， $2$ 名老师，每两人不相同，他们站成一行，求女生不相邻并且老师不相邻的方案数。

先把老师当做男生，用隔板法把女生插进男生（和老师）里，然后减去两个老师挨在一起的情况，也就是把两个老师看成一个人，再做一遍插板法。

2

求 ${n\choose {m}}~mod~p$ ， $n,m<=10^9,p<=10^5$ 。

首先，把 $p$ 分解质因数。分别计算模每个 $p_i^{a_i}$ ，然后CRT合并。
考虑其中一个 $p^{a}$ ，设它为 $mod$ 。如果我们分别把分子分母的 $p$ 的次数计算出来，指数相减，就可以避免对 $p$ 的除法了。

设 $A=n!，A'=A/p^b$ ， $A'$ 中不含 $p$ 。我们同样需要知道 $A$ 的值。考虑 $1,2,\dots ,n$ ，模 $mod$ 的余数有长度为 $p$ 的循环节。如果余数不等于零，那么肯定不会被模掉，所以把他们乘起来算一下快速幂。对于余数等于零的数，都有至少一个 $p$ ，我们把每个数都除以 $p$ ，再进行这样的操作。分母同理，然后对于没有 $p$ 的数就可以求逆元了。

第二类斯特林数
$S(n,k)=k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)$
球和盒子都可区分： $k!·S(n,k)$

第一类斯特林数
$n$ 个不同元素构成 $k$ 个非空换排列。
$S(n,k)=S(n-1,k-1)+(n-1)·S(n-1,k)$

卡特兰数

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, \dots

$1,1,2,5,14,42,132,\dots$

C_{n} = \frac{(\binom{2 n}{n})}{n + 1} = (\binom{2 n}{n}) - (\binom{2 n}{n - 1}) = \sum_{i = 0}^{n - 1} C_{i} C_{n - i - 1}

$C_n=\frac{{2n\choose n}}{n+1}={{2n}\choose n}-{{2n}\choose {n-1}} =\sum_{i=0}^{n-1}C_iC_{n-i-1}$
栗子：

n

$n$ 个节点的二叉树数量。

整数划分问题

广义牛顿二项式定理。

生成函数

普通型生成函数：

f (x) = \sum_{i = 0}^{+ \infty} a_{i} x^{i}

$f(x)=\sum_{i=0}^{+\infty} a_ix^i$
常用生成函数：

\begin{array}{l} 1, 1, 1, \dots, \to \frac{1}{1 - x} \\ 1, 0, 0, \dots, 1, 0, 0, \dots, 1, 0, 0, \dots \to \frac{1}{1 - x^{m}} \\ 1, 2, 3, \dots, \to \frac{1}{(1 - x)^{2}} \\ 1, 2, 4, 8, \dots, \to \frac{1}{1 - 2 x} \\ C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, C_{n}^{2}, \dots, \to (1 + x)^{n} \end{array}

$\begin{array}{l} 1,1,1,\dots, \rightarrow \frac 1{1-x}\\ 1,0,0,\dots,1,0,0,\dots,1,0,0,\dots \rightarrow \frac 1{1-x^m}\\ 1,2,3,\dots, \rightarrow \frac 1{(1-x)^2}\\ 1,2,4,8,\dots, \rightarrow \frac 1{1-2x}\\ C_n^0,C_n^1,C_n^2,\dots, \rightarrow (1+x)^n\\ \end{array}$

指数型生成函数：

f (x) = \sum_{i = 0}^{+ \infty} \frac{1}{i!} a_{i} x^{i}

$f(x)=\sum_{i=0}^{+\infty} \frac 1{i!}a_ix^i$
那么序列

1, 1, 1, \dots

$1,1,1,\dots$ 的生成函数是

e^{x}

$e^x$ 。对应地，

e^{k x}

$e^{kx}$ 对应的序列是

k^{1}, k^{2}, k^{3}, \dots

$k^1,k^2,k^3,\dots$

设生成函数 $h(x)=g(x)*f(x)$ ，那么 $h(x)$ 的第 $n$ 项系数为：

\begin{aligned} \frac{1}{n!} c_{n} & = \sum_{i = 0}^{n} \frac{1}{i} \cdot \frac{1}{(n - i)!} a_{i} b_{n - i} \\ = n! \cdot \frac{1}{n!} \sum_{i = 0}^{n} \frac{1}{i} \cdot \frac{1}{(n - i)!} a_{i} b_{n - i} \\ = \frac{1}{n!} \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) a_{i} b_{n - i} \end{aligned}

$\begin{split} \frac 1{n!}c_n&=\sum_{i=0}^n \frac1{i}·\frac1{(n-i)!}a_ib_{n-i}\\ &=n!·\frac 1{n!}\sum_{i=0}^n \frac1{i}·\frac1{(n-i)!}a_ib_{n-i}\\ &=\frac 1{n!}\sum_{i=0}^n {n\choose i}a_ib_{n-i}\\ \end{split}$
如果说

a_{i}

$a_i$ 是

i

$i$ 个数的排列数，

b_{i}

$b_i$ 同理，那么

c_{i}

$c_i$ 就是他们总共的排列数。

3

求 $n$ 位数中有多少个数各位数都是奇数，并且 $1,3$ 都出现并且都出现了偶数次。

首先，序列 $1,0,1,0,\dots$ 的生成函数是 $\frac{e^x+e^{-x}}2$ 。
不论取多少个 $5$ ， $5$ 的排列数都是一，因此取 $5$ 对应的生成函数是 $e^x$ 。
由于只能选偶数个一，并且不能不选，因此 $1$ 对应的生成函数是 $\frac{e^x+e^{-x}}2-1$ 。
同样，我们可以写出 $3,7,9$ 的生成函数，把他们乘起来得到：

e^{3 x} {(\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} - 1)}^{2}

$e^{3x}\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2} -1\right)^2$
把这个式子展开，取出第

n

$n$ 项系数就是答案。
范德蒙行列式

4

[CTSC2010]性能优化
观察到转移矩阵是一个循环矩阵。
循环矩阵乘循环矩阵也是循环矩阵。
由于我们只存一行就可以表示一个循环矩阵，因此我们可以用 $O(n^2)$ 的时间完成矩阵乘法。用 fft 可以优化为 $O(n\log n)$ 。

1

2

整数划分问题

生成函数

普通型生成函数：

指数型生成函数：

3

4

猜你喜欢