18十一正睿笔记

dp

决策单调性

前提:满足四边形不等式
若 $i<a<b<j$
$w(i,b)+w(a,j)<w(i,j)+w(a,b)$
相当于决策点是不降的。

把序列分成k段，每段的价值为 $w(i,j)$
ex:和的平方
$dp_{i,k}=min(dp_{j,k-1}+w(j,i)).$
知道了dp有决策单调后，可以分治
$solve(l,r,opt_l,opt_r)$
求出 $mid=l+r>>1$的opt（for一遍）,然后递归下一层。同时这个东西在每一层支持莫队一样的统计方式，强行把指针跳到想要的位置。
然而这个做法需要上一层用来转移的都算出来了，，，，
如果是形如 $f_i=min(f_j+w(j,i))$的方程
可以用单调栈，栈中存每个决策点决策的段，每次出现一个新的决策点，和栈顶的元素二分找位置。

斜率优化

一般写成 $dp_i=min/max(a_j+b_j*c_i)+d_i$
首先不管 $d_i$，把（ $b_j$, $a_j$）看成平面上的点。撞到点时在y轴上的截距就是这个点的贡献，拿一条斜率为- $c_i$的线从下往上移动，第一个撞到的就是最小值。显然这些点只会在下凸壳上，找出下凸壳可以二分找点。

图论

冷知识== dag的反图dfs出栈序列是一个合格的拓扑序列
一个拓扑序要求1最靠前，再让2最靠前，等价于反图最大字典序
每个正则二分图（所有点度数相同）都有完美匹配
霍尔定理：对于一个二分图对于左边任意一个点集，出边点集的siz>=点集大小，那么这个图有完美匹配。