速度与静力的笛卡尔变换

版权声明：本文为博主原创文章，转载请注明出处 https://blog.csdn.net/libing403/article/details/82955400

速度与静力的笛卡尔变换

考虑 $6\times 1$维的刚体广义速度和广义力矢量表达式
$\text v=\left[\begin{matrix} \upsilon\\ w \end{matrix}\right]\tag{5-98}$

$f=\left[\begin{matrix}F\\N\end{matrix}\right]\tag{5-99}$

用 $6\times 6$的矩阵可以将这些量从一个坐标系映射到另一个坐标系。这里涉及的两个坐标系间的连接时刚性的（因为这里考虑的是静力，假设关节锁死不存在运动），所以在推导关系式时式（5-45）（参见博客连杆间的速度传递）中出现的 $\dot\theta_{i+1}$被置为零
$\left[ \begin{matrix} ^B\upsilon_B \\ B^w_B\end{matrix}\right]= \left[ \begin{matrix} ^B_AR &-^B_AR ^AP_{BORG}\times \\ 0&^B_AR \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} ^A\upsilon_A \\ ^Aw_A \end{matrix}\right]\tag{5-100}$
式中叉乘可看成矩阵算子
$P\times= \left[ \begin{matrix} 0 &-p_z &p_y\\ p_z &0 &-p_x\\ -p_y & p_x &0 \end{matrix}\right]\tag{5-101}$
式（5-100）将一个坐标系的速度与另一个坐标系的速度联系起来，因此这个 $6\times6$算子被称为速度变换矩阵，用符号 $T_v$表示。用下列表达式把其写成紧凑的形式
$^B\text v_B=^B_AT_v\ ^A\text v_A \tag{5-102}$
已知{B}中的速度值，为了计算在{A}中的描述，可以对式(5-100)求逆
$\left[ \begin{matrix} ^A\upsilon_A \\ A^w_A\end{matrix}\right]= \left[ \begin{matrix} ^A_BR &^AP_{BORG}\times^A_BR \\ 0&^B_AR \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} ^B\upsilon_B \\ ^Bw_B \end{matrix}\right]\tag{5-103}$
即
$^A\text v_A=^A_BT_v\ ^B\text v_B \tag{5-104}$
同样，由前面博客的式(5-80)和（5-81）了得到一个 $6\times6$的矩阵，可以将在坐标系{B}中描述的广义力矢量变换成坐标系{A}中的描述，即为
$\left[ \begin{matrix}^AF_A \\ ^AN_A \end{matrix} \right ]= \left[ \begin{matrix} ^A_BR &0\\ ^AP_{BORG}\times ^A_BR & 0 \end{matrix} \right ] \left[ \begin{matrix}^BF_B \\ ^BN_B \end{matrix} \right ]\tag{5-105}$
写成紧凑形式为
$^Af_A=^A_BT_f\ ^Bf_B \tag{5-106}$
式中 $T_f$用来表示一个力-力矩变换

速度和力变换矩阵与雅可比矩阵相似，可把不同坐标系中的速度和力联系起来，参照雅可比矩阵，有如下关系
$^A_BT_f=^A_BT_v^T \tag{107}$

参考文献
[1] JOHN J.CRAIG. 机器人学导论: 第3版[M]. 机械工业出版社, 2006.