n个数的最大公约数

基本概念介绍

最大公因数

在数学分析的叙述中，如果n和d都是整数而且存在某个整数c，使得n = cd，就说d是n的一个因数，或说n是d的一个倍数，记作d|n（读作d整除n）。如果d|a且d|b我们就称d是a和b的一个公因数。对每一对整数都有一个公因数d，形如d = ax+by，其中x和y都是整数，并且a和b的每一个公因数都能整除这个d。d的绝对值叫做最大公因数，记为gcd(a,b)

最小公倍数

最小公倍数是数论中的一个概念。若有一个数X，可以被另外两个数A、B整除，且X大于（或等于）A和B，则X为A和B的公倍数。A和B的公倍数有无限个，而所有的公倍数中，最小的公倍数就叫做最小公倍数。

与最大公因数之关系
两个整数的最小公倍数与最大公因数之间有如下的关系：

$\operatorname {lcm}(a,b)={\frac { | a\cdot b$

辗转相除法

基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数

三个数的最大公约数的定义和两个数的相同，即是它们共有的素因数的积，它们或者也可以按下式计算:

GCD(a, b, c) = GCD(a, GCD(b, c)) = GCD(GCD(a, b), c) = GCD(GCD(a, c), b).

所以，欧几里得的辗转相除法实际可以计算任意多整数的最大公约数。

代码实现

两个数的最大公因数

c++普通版本

int gcd(int a, int b)
{
    if (a < b) std::swap(a, b);
    int temp;
    while (temp)
    {
        temp = a % b;
        a = b;
        b = temp;
    }
    return a;
}

c++递归版本

int gcd(int a, int b)
{
    if (a < b) std::swap(a, b);
    if (b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

两个数的最小公倍数

c++版本

//gcd为最大公约数
int lcm(int a, int b)
{
    return a * b / gcd(a, b);
}

n个数的最大公因数

//n个数的最大公约数算法
//计算范围是[0, n - 1]
int ngcd(std::vector<int> &a, int n)
{
    if (n == 1) return a[0];
    return gcd(a[n - 1], ngcd(a, n - 1));
}

//n个数的最大公约数算法
//计算范围是[left, right]
int ngcd(std::vector<int> &a, int left, int right)
{
    if (left == right) return a[left];
    return gcd(a[right], ngcd(a,left, right-1));
}

n个数的最小公倍数

//n个数的最小公倍数算法
//计算范围是[0, n - 1]
int nlcm(std::vector<int> &a, int n)
{
    if (n == 1) return a[0];
    return lcm(a[n - 1], nlcm(a, n - 1));
}

//n个数的最小公倍数算法
//计算范围是[left, right]
int nlcm(std::vector<int> &a, int left, int right)
{
    if (left == right) return a[left];
    return lcm(a[right], nlcm(a, left, right - 1));
}