动态规划专题（三）——数位DP

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前言

数位 $DP$ 真的是最恶心的 $DP$。

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简介

看到那种给你两个数，让你求这两个数之间符合条件的数的个数，且这两个数非常大，这样的题目一般就是 数位 $DP$ 题。

数位 $DP$一般都用于计数。

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具体实现

数位 $DP$有两种实现方法： $DP$预处理+乱搞求答案以及记忆化搜索。

个人感觉用记忆化搜索来实现要比较容易一些（第一种做法我是真的不会）。

数位 $DP$在求解的过程中运用了前缀和的思想，即要求 $l\sim r$范围内的解的个数，就相当于用 $0\sim r$范围内的解的个数减去 $0\sim l-1$范围内解的个数即可。

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模板

贴一波记忆化搜索的模板：

class Class_DigitalDP//数位DP（记忆化搜索实现）
{
	private:
		#define Size 15//如果是int范围内，数字长度不会超过15，这个Size要视题目而定
		int len,num[Size],f[Size][10];//len存储数字长度，num记录数字的每一位，f则用于记忆化
		inline void Init(LL x) {len=0;while(x) num[++len]=x%10,x/=10;num[len+1]=0;}//初始化，将x这个数字按位保存下来
		inline int dfs(int x,int s,int flag)//x记录剩余的位数，s记录当前的状态，flag记录当前是否肯定在求解的范围内（0表示不一定，1表示一定）
		{
			register int i,lim=9,w=0;//w用于统计答案
			if(!x) return OK(s);//如果剩余位数为0，就判断当前状态是否满足条件，并退出函数
			if(flag&&~f[x][s]) return f[x][s];//如果当前状态肯定在求解范围内，且已访问并求解过当前状态，就返回曾经求解出的答案
			if(!flag) (Right(num[x])&&(w+=dfs(x-1,GetStatus(s,num[x]),0),0),lim=num[x]-1;//如果不保证在求解范围内，则对这一位上的最大值单独处理，并仍不能保证在求解范围内
			for(i=0;i<=lim;++i) if(Right(i)) w+=dfs(x-1,GetStatus(s,i),1);//枚举每一个数字，如果这个数字符合条件，就继续搜索
			if(flag) f[x][s]=w;//如果当前状态肯定在求解的范围内，就将求解出的答案记录下来，实现记忆化
			return w;//返回答案
		}
	public:
		Class_DigitalDP() {for(register int i=0,j;i<Size;++i) for(j=0;j<9;++j) f[i][j]=-1;}//初始化f数组为-1
		inline int GetAns(int x) {return (void)(Init(x)),dfs(len,0,0);}//将这个数按位保存下来，然后记忆化搜索求解
}DigitalDP;

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几道例题

照常贴几道例题：

第一道例题： 【BZOJ3209】花神的数论题

一道二进制的数位 $DP$，可以发现用 $DP$预处理得到的是一个杨辉三角形… …

第二道例题： 【BZOJ1833】[ZJOI2010] count 数字计数

比较经典的数位 $DP$题，关键在于要判前导 $0$。

第三道例题： 【HDU4507】恨7不成妻

应该是这几道题里我唯一一道写记忆化搜索的，需要加上一点恶心的数学转化。

$Link$

【BZOJ3209】花神的数论题 的题解 详见博客 【BZOJ3209】花神的数论题（数位DP）

【BZOJ1833】[ZJOI2010] count 数字计数 的题解 详见博客 【BZOJ1833】[ZJOI2010] count 数字计数（数位DP）

【HDU4507】恨7不成妻 的题解 详见博客 【HDU4507】恨7不成妻（数位DP）