银河战舰

题意

在树上求一条路径，使得其最长上升子序列最长，输出上升子序列长度。

题解

考虑如何用$N\log N$的时间解决在序列上的问题，我们只需要维护每个长度的最长上升子序列的结尾的最小值即可。

将这个方法套在树上：考虑长链剖分，维护从某个叶子出发到根的每个长度的最长上升和下降的最优结尾。每次更新答案只要在枚举非长链上的答案，在原来的数组上二分即可。枚举完一条长链，再把它直接取最小值赋到根所在长链上的答案上。

需要注意一点，每一次赋值后，都可能和当前的根本身产生新的答案，所以要强行用根来更新一遍数组。

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LL long long
#define M 200020
#define INF 1000000000
using namespace std;
int read(){
	int nm=0,fh=1; char cw=getchar();
	for(;!isdigit(cw);cw=getchar()) if(cw=='-') fh=-fh;
	for(;isdigit(cw);cw=getchar()) nm=nm*10+(cw-'0');
	return nm*fh;
}
int n,m,ans,fs[M],nt[M<<1],to[M<<1],val[M],tmp,cnt;
int dep[M],dfn[M],mi[M],mx[M],mxd[M],mxs[M];
void link(int x,int y){nt[tmp]=fs[x],fs[x]=tmp,to[tmp++]=y;}
void dfs1(int x){
	mxd[x]=0;
	for(int i=fs[x];i!=-1;i=nt[i]){
		if(dep[to[i]]) continue; dep[to[i]]=dep[x]+1,dfs1(to[i]);
		if(mxd[to[i]]+1>mxd[x]) mxd[x]=mxd[to[i]]+1,mxs[x]=to[i];
	}
}
void upd(int &x,int y){if(y>x) x=y;}
void dwd(int &x,int y){if(y<x) x=y;}
int fdi(int l,int r,int num){
	int pos=r+1,md;
	for(md=((l+r)>>1);l<=r;md=((l+r)>>1)){
		if(mi[md]<num) pos=md,r=md-1;else l=md+1;
	} return pos;
}
int fdx(int l,int r,int num){
	int pos=r+1,md;
	for(md=((l+r)>>1);l<=r;md=((l+r)>>1)){
		if(mx[md]>num) pos=md,r=md-1;else l=md+1;
	} return pos;
}
void ins(int x,int num){
	int minn=fdi(dfn[x],dfn[x]+mxd[x],num); mi[minn-1]=min(mi[minn-1],num);
	int maxn=fdx(dfn[x],dfn[x]+mxd[x],num); mx[maxn-1]=max(mx[maxn-1],num);
}
int qry_mx(int x,int num){int maxn=fdx(dfn[x],dfn[x]+mxd[x],num);return mxd[x]+dfn[x]-maxn+1;}
int qry_mi(int x,int num){int minn=fdi(dfn[x],dfn[x]+mxd[x],num);return mxd[x]+dfn[x]-minn+1;}
void dfs2(int x){
	int minn=0,maxn=0,nowans=1; dfn[x]=++cnt;
	if(mxs[x]) dfs2(mxs[x]); ins(x,val[x]);
	for(int i=fs[x];i!=-1;i=nt[i]) if(to[i]!=mxs[x]&&dep[to[i]]>dep[x]) dfs2(to[i]);
	for(int i=fs[x];i!=-1;i=nt[i]){
		int y=to[i];
		if(y==mxs[x]||dep[y]<dep[x]) continue;
		for(int now,k=mxd[y];k>=0;k--){
			now=mx[dfn[y]+k]; if(now==0) break;
			minn=qry_mi(x,now),upd(nowans,minn+mxd[y]-k+1);
		}
		for(int now,k=mxd[y];k>=0;k--){
			now=mi[dfn[y]+k]; if(now>INF) break;
			maxn=qry_mx(x,now),upd(nowans,maxn+mxd[y]-k+1);
		} 
		for(int k=0;k<=mxd[y];k++){
			upd(mx[dfn[x]+mxd[x]-k],mx[dfn[y]+mxd[y]-k]);
			dwd(mi[dfn[x]+mxd[x]-k],mi[dfn[y]+mxd[y]-k]);
		} ins(x,val[x]);
	}
	maxn=qry_mx(x,0),minn=qry_mi(x,INF),upd(nowans,max(minn,maxn)),upd(ans,nowans);
}
int main(){
	n=read(),memset(fs,-1,sizeof(fs)),memset(mi,0x3f,sizeof(mi));
	for(int i=1;i<=n;i++) val[i]=read(); dep[1]=1;
	for(int i=1;i<n;i++){int x=read(),y=read(); link(x,y),link(y,x);}
	dfs1(1),dfs2(1),printf("%d\n",ans); return 0;
}