关联分析：Apriori算法

Apriori算法是寻找关联规则的最早算法之一，比较经典的算法。下面从5个方面对该算法进行说明

1.任务

对于关联分析来说，任务就是描述变量之间的关联关系（这里一定要注意区分关联关系与因果关系，关联并不一定导致因果），目前常见到的应用场景可能就是商品销售了，比如有名的“尿布与啤酒”案例，Apriori算法的任务就是找出具有一定关联度的变量。

2.结构

关联规则是形如 $X\rightarrow Y$ 的表达式， $X$ 和 $Y$ 是样本数据属性集 $A=\left \{ a_{1},a_{2},...a_{k} \right \}$ 的两个非空子集， Apriori算法的结构就是用概率的形式表示关联规则。在Apriori算法中，有两个基于概率的参数：支持度(support)和置信度(confidence)，支持度表示的是 $X,Y$ 同时出现在数据项中的频繁程度，置信度指的是 $Y$ 出现在包含X的数据项中的频繁程序。以一个简单的例子说明支持度和置信度的定义形式，现有样本集如下所示,要计算 $X\left \{ Bread \right \}$ 与 $Y\left \{ Milk,Diaper \right \}$ 的支持度与置信度

$s(X\rightarrow Y)=\frac{N(X,Y)}{N}=\frac{2}{5}=0.4$

$c(X\rightarrow Y)=\frac{N(Y|X)}{N(X)}=\frac{N(X,Y)}{N(X)}=\frac{2}{4}=0.5$

$N(Y|X)$ ， $N(X,Y)$ ：同时包含 $X,Y$ 的数据项个数

$N(X)$ ：包含 $X$ 的数据项个数

$N$ ：数据项总数

3.评分函数

关联分析属于模式的探索，而模式一般无法像模型那样有比较客观的评分函数，模式的评分函数带有较强的主观性，就像贝叶斯理论那样。在Apriori算法中，可以用支持度和置信度的阈值作为一个评价指标，对于0.5的支持度/置信度和0.7的支持度/置信度两种情况，不能说0.7的一定比0.5的更好，支持度/置信度过高容易遗漏部分的关联变量，过低则容易引入噪声，支持度和置信度阈值的选择就存在着较强的主观性。

4.搜索方法

基于“用概率表示关联规则”的结构以及“支持度和置信度的阈值”这样的评分函数，该使用怎样的搜索方法来建立这样的关联模式呢？在一般的关联分析中，搜索过程主要分为两步：

产生频繁项集：寻找大于支持度阈值的项集，该项集即称为频繁项集
生成规则：在频繁项集中寻找大于置信度阈值的项集，生成关联规则

对于有 $p$ 个属性的样本集，所有可能的关联规则数量为 $p2^{p-1}$ ，如果使用贪婪的搜索方法，计算量将是指数级的，大数据环境中 $p$ 一般能达到几十个，计算量非常可怕。当 $p=5$ 时，整个规则的搜索过程如下图所示

R. Agrawal 和 R. Srikant于1994年提出了Apriori（Apriori一词即为先验的）算法，优化了这种搜索过程。R. Agrawal 和 R. Srikant提出了两条先验原理

如果一个项集是频繁项集，那么其子集也是频繁项集
如果一个项集不是频繁项集，那么其所有超集都不是频繁项集

这两原理的证明及理解都比较容易，基于这两条原理，Apriori算法中计算频繁集的具体过程如下，先看一下原著中的描述

Let $k$ =1
Generate frequent itemsets of length $k$
Repeat until no new frequent itemsets are identified
- Generate length ( $k$ +1) candidate itemsets from length $k$ frequent itemsets
- Prune candidate itemsets containing subsets of length $k$ +1 that are infrequent
- Count the support of each candidate by scanning the DB
- Eliminate candidates that are infrequent, leaving only those that are frequent

基于自己的理解，Apriori算法计算频繁集的具体执行步骤可描述如下。设数据集中属性集为 $A=\left \{ a_{1},a_{2},...a_{p} \right \}$ ， $X_{k}$ 为包含 $k$ 个变量的属性子集，其数量为 $C_{p}^{k}$ ， $X^{\sigma }_{k}$ 表示 $X_{k}$ 中的频繁项集

令 $k$ =1
计算 $X_{1}$ 中的频繁项集 $X^{\sigma }_{k}$
for $k$ =2: $p$
从 $X^{\sigma }_{k-1}$ 中产生 $X_{k}$
计算 $X_{k}$ 中的频繁项集 $X^{\sigma }_{k}$ （该步中使用了第一条及第二条先验原理）
end

这个过程可以用下图来简易描述

得到频繁集后，可以利用超过置信度阈值的频繁项集生成关联规则，不过此时有个问题，在第2节的公式

$c(X\rightarrow Y)=\frac{N(Y|X)}{N(X)}=\frac{N(X,Y)}{N(X)}=\frac{2}{4}=0.5$

中，分母为 $N(X)$ 而不是 $N(Y)$ ，从语义上理解可以理解为： $X$ 与 $Y$ 有关联，而不是 $Y$ 与 $X$ 有关联。很显然，在多数情况下分母为 $N(X)$ 和分母为 $N(Y)$ 的计算结果是不同的，当置信度阈值为某个值时，这有可能导致 $X\rightarrow Y$ 或者 $Y\rightarrow X$ 中的某条规则被丢弃。在实际商品销售中，考虑一下这二者的区别

当关联规则 $X\rightarrow Y$ 成立、 $Y\rightarrow X$ 不成立时，可以在销售商品 $X$ （这里简单的以 $X$ 代替商品）时打折销售商品 $Y$
当关联规则 $Y\rightarrow X$ 成立、 $X\rightarrow Y$ 不成立时，可以在销售商品 $Y$ 时打折销售商品 $X$
当关联规则 $Y\rightarrow X$ 成立、 $X\rightarrow Y$ 也成立时，可以商品 $X$ 、 $Y$ 一起打折销售

5.数据管理技术

Apriori算法在数据库中采用的是多重线性扫描的方式，在不同的 $k$ 值下都需要对数据库扫描一次，判断哪些项集是频繁项集，但是相对于贪婪式的搜索方法，Apriori算法已能大大减小数据库扫描次数了。在关联规则算法中，很多算法中搜索和数据管理部分是算法的关键部分，特别的，关联规则使用广度优先、一般到特殊的系统搜索方法，以尽可能使数据库的扫描次数减少到最小。

（PS:文中所有的图表均引用自博客https://blog.csdn.net/baimafujinji/article/details/53456931）