2018 NanJing ICPC Online Contest L Magical Girl Haze (BZOJ - 2763) 分层最短路

Description

分层图最短路，就是在分层图上解决最短路问题。
主要是应用于变化的最短路问题，问题常表现为一个最短路问题上加一些手脚，如减小一些边权，改变一些连接，但事先又不知道，或可以自由选择改变哪个边，最终求最短路等等。由于无法知道改变了那些边，所以用到分层图思想。
$1.一种解决方法是多开一维记录状态，多开的维度记录状态的种类数即为分层数。 $
$2.另一种解决方法是可以理解为平行宇宙一样的东西就是把原图复制出来k个，然后在原图$ 连接的基础上，在相邻层中间加一些要求的变化边，通常是单向的（保证从每一层到下一层不再回来），再跑最短路。

$个人觉得第一种更好一点。第二种方法需多建很多点和边，容易MLE。$
$本题就是取自于BZOJ2763，不过是有向边且数据范围扩大了。$
$题意就是从1 \to n的最短路径长度，其中最多可以使得K条路径免费。$

Input

$1 \leq T\leq 5$
$N\leq 10^5$
$M\leq 2*10^5$
$K\leq 10$
$0 \leq c_i\leq 10^9$

Output

最短路径长度

Solution

$1.一种解决方法是多开一维记录状态，多开的维度记录状态的种类数即为分层数。 $
$dist[i][j]:表示到达i点的第j层最短路径。也可以说到达i点使用了j次免费路径的最短路径。$
$答案就是dist[n][k]$
$更新的时候除了对当前层的点松弛还要对下一层的点进行松弛。$

Codes

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5+10;
typedef long long ll;
struct Edge {
    int to;
    ll cost;
    Edge(){}
    Edge(int _t,ll _c) {to = _t;cost = _c;}
};
vector<Edge> ways[maxn];
struct qNode {
    int x,y;
    ll cost;
    qNode(){}
    qNode(int _t,int _k,ll _c) {x = _t;y = _k;cost = _c;}
    bool operator < (const qNode &a) const {
        return cost > a.cost;
    }
};
int n,m,k,from,to;
bool vis[maxn][15];
ll dist[maxn][15];
inline void init() {
    for(int i=0;i<maxn;i++) ways[i].clear();
}
inline void addedge(int u,int v,ll c) {
    ways[u].push_back(Edge(v,c));
}
ll solve(int from,int to) {
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
    //printf("%lld\n",dist[0][0]);
    priority_queue<qNode> qu;
    while(!qu.empty()) qu.pop();
    dist[from][0] = 0;
    qu.push(qNode(from,0,dist[from][0]));
    qNode now;
    Edge tmp;
    while(!qu.empty()) {
        now = qu.top(); qu.pop();
        int u = now.x,step = now.y;
        vis[u][step] = true;
        for(int i=0;i<ways[u].size();i++) {
            tmp = ways[u][i];
            int v = tmp.to;ll cost = tmp.cost;
            if(!vis[v][step] && dist[v][step] > dist[u][step] + cost) {
                dist[v][step] = dist[u][step] + cost;
                qu.push(qNode(v,step,dist[v][step]));
            }
            /// 对下一层进行松弛
            if(step == k) continue;
            if(!vis[v][step+1] && dist[v][step+1] > dist[u][step]) {
                dist[v][step+1] = dist[u][step];
                qu.push(qNode(v,step+1,dist[v][step+1]));
            }
        }
    }
    return dist[to][k];
}
int main()
{
    int caset;scanf("%d",&caset);
    while(caset--) {
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
        init();
        // scanf("%d%d",&from,&to);
        ll c;
        for(int i=0,u,v;i<m;i++) {
            scanf("%d%d%lld",&u,&v,&c);
            addedge(u,v,c);
        }
        ll ans = solve(1,n);
        printf("%lld\n",ans);
    }

    return 0;
}