xsy1531[北京集训2016] 魔法游戏

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题目大意

有一棵树，两个人每个节点上有一个权值，两个人轮流选择一个根节点将其权值\(k\)除以\([2,k+1]\)若除到\(0\)就删去此根节点，它的儿子变成新根节点，删掉最后一个点赢。求先手还是后手必胜。

题解

首先考虑一些只有一个根节点的树，如果以二进制角度看，每次除以\([2,k+1]\)的数相当于拿掉一些二进制位的１，至少拿掉顶上的，可以拿完，这就相当于nim取石头游戏。每个权值相当于有\(log_2k+1\)个石头。

那么设\(SG(u,i)\)表示节点\(u\)有\(i\)个石头的\(SG\)值，显然叶子节点\(u\)的\(SG(u,i)=i\)，非叶子节点\(u\)的\(SG(u,0)=SG(son_1(u),k_1(u))\ XOR\ SG(son_2(u),k_2(u))\ XOR...\) 根据\(SG(u,k)=mex\{ SG(u,k)的后继状态 \}\) 那么 \(SG(u,k)=mex \{ SG(u,0),SG(u,1)...SG(u,k-1)\}\) 本来\(SG(u,0)=0\)那么\(SG(u,k)=k\)现在\(SG(u,0)\)等于一个不为零的数\(x\)那么\(SG(u,1)=0\ SG(u,2)=1\ ... SG(u,x)=x-1\)直到\(SG(u,x+1)=x+1\).

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;
const int N=100010;
 
struct E{
    int t,xt;
}e[N<<1];
 
int h[N],cnt;
 
void adge(int f,int t){
    e[++cnt]=(E){t,h[f]};h[f]=cnt;
}
 
ll mi[100] ,val[N];
int sg[N];
void dfs(int u,int fa){
    sg[u]=0;
    int x=upper_bound(mi,mi+64,val[u])-mi;
    bool yz=1;
    for(int i=h[u];~i;i=e[i].xt) if(e[i].t!=fa){    
        yz=0;
        dfs(e[i].t,u);
        sg[u]^=sg[e[i].t];
    }
    if(!yz) sg[u]=x-(x<=sg[u]);
    else sg[u]=x;
}
 
int main(){
    memset(h,cnt=-1,sizeof(h));
    mi[0]=1;
    for(int i=1;i<=63;i++) mi[i]=mi[i-1]*2;
    int n;  
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        for(int i=0;i<n;i++) scanf("%llu",&val[i]);
        for(int i=1;i<n;i++){
            int a,b;
            scanf("%d%d",&a,&b);
            adge(a,b);
            adge(b,a);
        }
        dfs(0,0);
        puts(sg[0]?"Alice":"Marisa");
        for(int i=0;i<n;i++) h[i]=-1;
        cnt=-1;
    }
    return 0;
}