三角学——极坐标_1

首先我要知道什么是笛卡尔坐标？如图：

我们平常使用这个二维平面，就是笛卡尔坐标。

如果我们要确定二维平面上的任意一点，只需要给出 x 轴方向上的距离和 y 轴方向上的距离，就可以确定这个点。

现在我们给出这个点：

在笛卡尔坐标系中，为达到这个点，我们需要右移3个单位长度，坐标为3：

上移动4个单位长度，到达蓝色这一点：

按照惯例，这就是横坐标，纵坐标，称这个点为（3，4）：

这是定位二维平面点的其中一种方法。

第二种方法就是，直接向那个点出发：

如何给出这个方向呢?为什么称之为0°？

可以称这个角度为0°，设这个角度为 $\theta$ ，给它指出一个方向，说它了 r 个单位长度，它会到达那个点：

现在用另外一种方式来表示。

那一点（3，4）也可以用（r， $\theta$ ）来表示，沿 $\theta$ 方向移动 r 个基本单位。这样说有点抽象了。我们来表示一下。

从三角函数入手，其实是运用了勾股定理，能否求出 r 和 $\theta$ ？

r 比较容易求解，因为有一个直角三角型，x轴为3，y轴为4。

根据勾股定理，3的平方 + 4的平方等于斜边的平方，也就是 r 方，也就是 r 等于5。

如何求 $\theta$ ？

现在已知什么呢？

我们要求 $\theta$ ，看看 $\theta$ 的对边，这下我们回到了三角函数知识。

$\theta$ 的对边是 4 。领边同样已知，是3。这是哪个三角函数呢？是tan $\theta$ 。

tan $\theta$ 等于对边比上领边。也就是纵坐标y等于4 除以领边（横坐标）3：

tan $\theta$ =4/3

为求解 $\theta$ ，可以对等号两边同时求arctan：

arctan(tan $\theta$ ) = arctan4/3

当然正切值的反正切，也就是arctan(tan $\theta$ )等于 $\theta$ 。

$\theta$ = arctan4/3

注意：arctan的另一种写法是，经常表示为，等同于 $tan^{-1}$ 。

绝大部分人都记不住arctan4/3等于多少度。一般我们使用计算机来计算。得出：53.13°：

$\theta$ = 53.13°

现在我们知道二维平面那个点可以表示为：（5，53.13°），这是极坐标。

也就是说，从x轴沿逆时针方向转53.13°，然后移动5个单位长度，就可以得到那个点。这就是极坐标的意义。

现在我们来用学习使用一般方法来表示这一逻辑：

我们来画个图：

如何转换 r ？转换为极坐标？（r , $\theta$ ）

和我们上面做的一样，设长度 r 和角度为 $\theta$ ：

利用勾股定理，x的平方 + y的平方 = 斜边的平方：

$x^{2} + y^{2} =r^{2}$

然后求tan $\theta$ ，这个角的正切值。tan $\theta$ = 对边除以邻边。

$tan\theta=\frac{y}{x}$

如果已知 r 和 $\theta$ ，如何求y?

r 是斜边，y 是对边。要用三角函数表示：sin $\theta$ 等于对边比斜边：

$sin\theta = \frac{y}{r}$

然后两边同时乘以 r ，得到：

$rsin\theta = y$

我们再使用这个方法来表示 x 的等式：

x 是邻边，斜边是 r。哪个函数用到邻边和斜边？是的，使用cos $\theta$ 。cos $\theta$ 等于邻边比斜边。

$cos\theta=\frac{x}{r}$

然后两边同时乘以 r ，得到：

$rcos\theta = x$

如果得到了由三角恒等式推导出的这个公式， $rsin\theta = y$ 和 $rsin\theta = x$ 是由三角函数推导出来的。

你们现在有能力可以完成极坐标和笛卡尔坐标之间的转换了。

——请不断重复练习、练习、练习、再练习。。。

三角学——极坐标_1

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