完美序列(二维dp)

完美序列

题目描述

已知一个长度为l的序列：b1，b2，b3，…，bl (1<=b1<=b2<=b3<=…<=bl<=n)。若这个序列满足每个元素是它后续元素的因子，换句话说就是对于任意的i (2<=i<=l)都满足bi%bi-1=0 (其中“%”代表求余)，则称这个序列是完美的。你的任务是对于给定的n和l，计算出一共有多少序列是完美序列。由于答案很大，所有输出答案对1000000007取余后的结果。

输入

输入的第一行为一个正整数T (T<=1000)，代表一共有T组测试数据。

每组测试数据包含两个正整数n，l (1<=n, l<=2000)，分别代表序列中元素大小的最大值和序列的长度。

输出

对于每组测试数据，输出一行包含一个整数，代表答案对1000000007取余后的结果。

样例输入

3 2
6 4
2 1

样例输出

5

39

2

思路:二维dp[i][j],i表示序列的长度，j表示序列最后一个数的值

首先打表:

i到maxn所有的dp[1][i]赋初始值为1

接着三个for循环，i,j,k,分别代表序列长度，序列最后一个数的值，满足ai%ai-1=0序列需要的值(k+=j)

状态转移方程：dp[i][k]=(d[i-1][j]%mod+dp[i][k]%mod)%mod

最后结果把从1到最大值val,长度为len的dp[len][i]方案数累加即可

AC Code:

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<map>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<set>
#define Max 0x3f3f3f3f
#define Min 0xc0c0c0c0
#define mst(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define f(i,a,b) for(int i=a;i<b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2005;
const int mod=1e9+7;
int dp[maxn][maxn];
int db(){
    mst(dp);
    for(int i=1;i<maxn;i++){
        dp[1][i]=1;
    }
    for(int i=2;i<maxn;i++){
        for(int j=1;j<maxn;j++){
            for(int k=j;k<maxn;k+=j){
                dp[i][k]=(dp[i-1][j]%mod+dp[i][k]%mod)%mod; //状态转移方程
            }
        }
    }
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    int T,val,len;
    db();
    cin>>T;
    while(T--){
        cin>>val>>len;
        ll ans=0;
        for(int i=1;i<=val;i++){
            ans=(ans+dp[len][i])%mod;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}