IBM问题总结

Abstract

这篇文章主要是想对IBM问题做一个总结，这里我只考虑了两个消息源相互竞争的情况，当然也可以推广到多个消息源，但是推广到多个消息源时，传播模型等也需要做一定的改变~

Analysis

S_A表示被A激活的点的seed set，S_B表示被B激活的点的seed set。σ(S_A)表示A的影响范围，σ(S_B)表示B的影响范围，k表示种子节点集合的大小

1. B最大。
选k个节点传播消息B，最终让B消息的传播范围最大。因为消息A和B同时都在传播，所以在计算σ(S_B )时，当影响力扩散到一个点u时，要先判断这个点有没有被A激活，如果已经事先被A激活了，那么这个点不能被B激活。所以对于一个点u来说，被B激活需要满足两个条件：1.没有被A激活；2.满足B的激活阈值。

Input G = (V, E), S_A, S_B=∅;
Output S_B;
1:for i=1 to k do
2:   v=argmax(u∈V\(S_A∪S_B)) σ(S_B∪{u});//当前情况下，选择v点做为B消息的种子节点时，使得此时B消息的传播范围最大
3:   S_B=S_B∪{v};
4:end for

2. B-A最大。
选择k个节点传播消息B，最终让B消息拯救的节点数最多，或者说让A消息的影响范围的减小最大。也就是说，本来A的影响范围是100个节点，但是因为B消息的传播，这100个节点里面有40个节点因为被B激活了，所以免于被A激活，那么就说这40个节点被B拯救了。这里用σ_save (S_A,S_B)表示因为B消息的传播而免于被A影响的点的集合大小，即被B消息拯救的节点个数。注意，这里S_A是已经事先确定的。

Input G = (V, E), S_A, S_B=∅;
Output S_B;
1:for i=1 to k do
2:   v=argmax(u∈V\(S_A∪S_B)) σ_save (S_A,S_B∪{u});//当前情况下，选择v点做为B消息的种子节点时，使得此时被B拯救的节点数最多
3:   S_B=S_B∪{v};
4:end for

3. A最小。
如果按照我们之前讨论的A最小可以在A消息源的邻居节点中选择影响力大的点，然后让这些点来传播消息B，这里用N(A)表示A消息源的邻居节点。因此A最小就转换成了遍历所有的N(A)，从中选出Top-k个影响力最大的点作为B消息的种子节点。但是这里在算σ(S_B )时也要注意判断节点是否已经被A激活了。（为了和B-A最大区分，所以上面的B-A最大是在全局上搜索，而这里只是在A的种子节点的邻居节点上搜索）

选出来的节点会将消息传播出去

Input G = (V, E), S_A, S_B=∅;
Output S_B;
1:for i=1 to k do
2:   v=argmax(u∈N(A)\(S_A∪S_B)) σ(S_B∪{u});//当前情况下，选择v点做为B消息的种子节点时，B消息的影响力达到最大，又因为v是在消息源A的邻居节点中选取的，此时消息A无法通过v点传播而使得消息A的扩散范围减少达到最大，所以当前情况下消息A的传播范围最小
3:   S_B=S_B∪{v};
4:end for

选出来的节点不会传播消息，仅仅是控制这些点，从而阻断消息的传播。
这里需要注意的是：1.如果不控制某些节点，单纯让负面消息在网络中扩散的话，负面消息A的影响范围表示为：σ(S_A |V),其中V表示整个社会网络的节点集合；2.如果选出了某些点放入集合SB，然后对这些点进行控制，那么消息无法通过这些点进行传播，这时负面消息A的影响范围可以表示为：σ(S_A |(V\S_B))。因此让σ(S_A)最小就转换成：让σ(S_A│V)-σ(S_A |(V\S_B )) 最大

Input G = (V, E), S_A, S_B=∅;
Output S_B;
1:for i=1 to k do
2:   v=argmax(u∈N(A)\S_B ) {σ(S_A |(V\S_B))-σ(S_A |(V\(S_B∪{u})))};
3:   S_B=S_B∪{v};
4:end for