快速傅里叶变换(FFT)的推导过程(DIT)

FFT是一种快速计算DFT的算法。按时间抽选的基-2FFT推导过程如下：

首先给出DFT的计算公式：

X (k) = D F T [x (n)] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x (n) W_{N}^{n k}

$X(k)=DFT[x(n)]=\sum^{N-1}_{n=0}x(n)W^{nk}_{N}$

其中 $W_{N}=e^{-j\frac{2\pi}{N}}$

容易证明：

W_{N}^{n k} = W_{N}^{(n + r N) k} = W_{N}^{(k + r N) n} ， r 为 整 数

$W_N^{nk}=W_N^{(n+rN)k}=W_N^{(k+rN)n}，r为整数$

W_{N}^{n k} = W_{m N}^{m n k} ， W_{N}^{n k} = W_{N / m}^{n k / m}

$W_N^{nk}=W_{mN}^{mnk}，W_N^{nk}=W_{N/m}^{nk/m}$

因此，可以得出一些特殊值：

W_{N}^{N / 2} = - 1

$W_N^{N/2}=-1$

W_{N}^{k + \frac{N}{2}} = - W_{N}^{k}

$W_N^{k+\frac{N}{2}}=-W_N^k$

W_{N}^{(N - k) n} = W_{N}^{(N - n) k} = W_{N}^{- n k}

$W_N^{(N-k)n}=W_N^{(N-n)k}=W_N^{-nk}$

FFT的主要思想就是利用这些性质将DFT中的某些项合并。

设序列的长度为 $N=2^L$ ，将其分成奇偶两组：

\begin{matrix} (1) & {\begin{matrix} x (2 r) = x_{1} (r) \\ x (2 r + 1) = x_{2} (r) \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}\ x(2r)=x_1(r) \\ x(2r+1)=x_2(r) \end{array} \right.\tag{1} \end{equation}$

其中

r = 0, 1, . . ., \frac{N}{2} - 1

$r=0,1,...,\frac{N}{2}-1$

则

X (k) = \sum_{n = 0 (n 为 偶 数)}^{N - 1} x (n) W_{N}^{n k} + \sum_{n = 0 (n 为 奇 数)}^{N - 1} x (n) W_{N}^{n k}

$X(k)=\sum_{n=0(n为偶数)}^{N-1}x(n)W_N^{nk}+\sum_{n=0(n为奇数)}^{N-1}x(n)W_N^{nk}$

X (k) = \sum_{r = 0}^{\frac{N}{2} - 1} x (2 r) W_{N}^{2 r k} + \sum_{r = 0}^{\frac{N}{2} - 1} x (2 r + 1) W_{N}^{(2 r + 1) k}

$X(k)=\sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2r)W_N^{2rk}+\sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x(2r+1)W_N^{(2r+1)k}$

X (k) = \sum_{r = 0}^{\frac{N}{2} - 1} x_{1} (r) W_{N / 2}^{r k} + W_{N}^{k} \sum_{r = 0}^{\frac{N}{2} - 1} x_{2} (r) W_{N / 2}^{r k}

$X(k)=\sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x_1(r)W_{N/2}^{rk}+W_N^k\sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x_2(r)W_{N/2}^{rk}$

令

X_{1} (k) = \sum_{r = 0}^{\frac{N}{2} - 1} x_{1} (r) W_{N / 2}^{r k}

$X_1(k)=\sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x_1(r)W_{N/2}^{rk}$

X_{2} (k) = \sum_{r = 0}^{\frac{N}{2} - 1} x_{2} (r) W_{N / 2}^{r k}

$X_2(k)=\sum_{r=0}^{\frac{N}{2}-1}x_2(r)W_{N/2}^{rk}$

则

\begin{matrix} (2) & X (k) = X_{1} (k) + W_{N}^{k} X_{2} (k) \end{matrix}

$X(k)=X_1(k)+W_N^{k}X_2(k)\tag{2}$

$X_1(k),X_2(k)$ 分别是 $x_1(r)和x_2(r)$ 的 $N/2$ 点DFT。

这样我们就可以把一个 $N$ 点DFT分解为两个 $N/2$ 点DFT，并通过 $(2)$ 式组合成 $N$ 点DFT。

但是式中的 $k,r=0,1,...,\frac{N}{2}-1$ ，也就是说，这只是 $X(k)$ 的前一半序列。

可以应用周期性求解 $X(k)$ 的后一半序列。

易证：

X_{1} (\frac{N}{2} + k) = X_{1} (k) X_{2} (\frac{N}{2} + k) = X_{2} (k) W_{N}^{k + \frac{N}{2}} = - W_{N}^{k}

$X_1(\frac{N}{2}+k)=X_1(k) \\ X_2(\frac{N}{2}+k)=X_2(k) \\ W_N^{k+\frac{N}{2}}=-W_{N}^{k}$

因此：

\begin{matrix} (3) & X (k + \frac{N}{2}) = X_{1} (k) - W_{N}^{k} X_{2} (k), k = 0, 1, . . ., \frac{N}{2} - 1 \end{matrix}

$X(k+\frac{N}{2})=X_1(k)-W_N^k X_2(k),k=0,1,...,\frac{N}{2}-1 \tag{3}$

通过 $(2)$ 式和 $(3)$ 式，就可以通过两个 $N/2$ 点DFT序列组合出一个完整的 $N$ 点DFT序列。

附运算次数(序列的长度为 $N$ )：

直接DFT：
复数乘法 $N^2$ 次
复数加法 $N(N-1)$ 次

利用FFT求解DFT：
复数乘法 $\frac{N}{2}log_2{N}$ 次
复数加法 $N log_2{N}$ 次