UVa 1336 Fixing the Great Wall

题目

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题目大意

长城被看做了一条直线段。其中有 $N$ 个点需要使用机器人维修。可以使用一个三元组 $(x_i,c_i,d_i)$ 描述第 $i$ 个损坏点的参数，其中， $x_i$ 是损坏点的位置， $c_i$ 是立即修理（即时刻从0开始时开始维修）的费用， $d_i$ 是单位时间增加的维修费用。即若在时刻 $t_i$ 修理第 $i$ 个损坏点，则费用为 $c_i+t_id_i$ 。
修理的时间忽略不计。机器人的速度为 $v$ 且保持不变。给定机器人的初始位置 $x$ ，求出修理所有的点的最小费用（向下取整）。

思路

不难发现在任意时刻，已经修复的点一定是一个连续的区间。由此定义状态 $f[l][r][k]$ 表示修复完区间 $[l,r]$ 后，当前位置为 $k$ （ $k=0$ 表示在左端点 $i$ ， $k=1$ 表示在右端点 $j$ ）时的最小费用。

我们使用刷表法进行计算。则每个状态 $f[l][r][k]$ 有两个决策：

记 $s(i,j)$ 为点 $i$ 到 $j$ 之间的所有 $d$ 值之和。

决策一：往左走。修理点 $l-1$ ，设当前点为 $p$ （其中， $k=0$ 时 $p=l$ ， $k=1$ 时 $p=r$ ），则到达点 $l-1$ 的时间 $t=\frac{|x_{l-1}-x_p|}{v}$ ，在这段时间里，所有的未修理的点（即 $1\ldots l-1$ 和 $r+1\ldots N$ ）的费用都增加了 $t$ 。就需要将这些点的总费用 $(sum(1,l-1)+sum(r+1,N))\times t$ 累加到状态值中。即使用 $f[l][r][k]+(sum(1,l-1)+sum(r+1,N))\times t+c_{l-1}$ 来更新 $f[l-1][r][0]$ 。

决策二：往右走。状态转移至 $f[l][r+1][1]$ 。和决策一很类似。实在想不到的读者就去看代码吧。。。

实现细节

注意：输入的点是乱序的，我们需要将它们排序。

注意：不要边计算边向下取整！会导致结果误差较大！请使用double进行计算！！

注意常数！本题最优的 $O(n^2)$ 算法可能会被卡常数！！

正解代码

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int Maxn=1000;
const int INF=0x3f3f3f3f;

int N;
double X,V;
double f[Maxn+5][Maxn+5][2];
struct Point {
    double x,c,d;
    bool operator < (const Point rhs) const {return x<rhs.x;}
}A[Maxn+5];//将点的参数打包成一个结构体，方便排序
double sum[Maxn+5];

void Prepare() {
    for(int i=1;i<=N;i++)
        sum[i]=sum[i-1]+A[i].d;
    //用前缀和计算sum
    for(int i=1;i<=N;i++)
        for(int j=i;j<=N;j++)
            f[i][j][0]=f[i][j][1]=INF;
    //初始化f数组
    for(int i=1;i<=N;i++)
        if(A[i].x==X) {
            f[i][i][0]=f[i][i][1]=0;
            break;
        }//找到机器人所在的点注意将它的状态清成0
}

double cost(int l,int r) {
    return sum[N]-sum[r]+sum[l-1];
}//计算sum(1,l-1)+sum(r+1,N)

int main() {
    #ifdef LOACL
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif
    while(scanf("%d %lf %lf",&N,&V,&X)!=EOF&&N&&X&&V) {
        for(int i=1;i<=N;i++)
            scanf("%lf %lf %lf",&A[i].x,&A[i].c,&A[i].d);
        N++;
        A[N].x=X,A[N].c=A[N].d=0;
        //注意将机器人的点也加进点集，当成一个c,d都是0的点
        sort(A+1,A+N+1);

        Prepare();//进行DP之前的初始化

        for(int i=1;i<=N;i++)//枚举区间长度
            for(int j=1;j+i-1<=N;j++) {//枚举区间起点
                int l=j,r=j+i-1;//计算当前区间左右端点
                double cos=cost(l,r);
                if(l>=2) {//进行决策一
                    double t=(A[l].x-A[l-1].x)/V;
                    f[l-1][r][0]=min(f[l-1][r][0],f[l][r][0]+cos*t+A[l-1].c);
                    t=(A[r].x-A[l-1].x)/V;
                    f[l-1][r][0]=min(f[l-1][r][0],f[l][r][1]+cos*t+A[l-1].c);
                }
                if(r<N) {//进行决策二
                    double t=(A[r+1].x-A[r].x)/V;
                    f[l][r+1][1]=min(f[l][r+1][1],f[l][r][1]+cos*t+A[r+1].c);
                    t=(A[r+1].x-A[l].x)/V;
                    f[l][r+1][1]=min(f[l][r+1][1],f[l][r][0]+cos*t+A[r+1].c);
                }
            }
        printf("%.lf\n",floor(min(f[1][N][0],f[1][N][1])));
        //注意答案是在f[1][N][0]和f[1][N][1]中取最小值
    }
    return 0;
}

【UVa】【DP】1336 Fixing the Great Wall

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