OpenFOAM中divDevRhoReff和divDevReff具体是啥？
先看动量方程：
$$\frac{\partial \rho \mathbf{U}}{\partial t}+\nabla \cdot \left( \rho \mathbf{UU} \right)=\nabla \cdot \sigma +\mathbf{f} \tag{1}$$
其中应力张量：
$$\begin{equation}\begin{split} \sigma &=-\left( p+\frac{2}{3}\mu \nabla \cdot \mathbf{U} \right)\mathbf{I}+\mu \left[ \nabla \mathbf{U}+{{\left( \nabla \mathbf{U} \right)}^{\text{T}}} \right] \\ & \text{ }\\&=-p\mathbf{I}-\frac{2}{3}\mu \nabla \cdot \mathbf{UI}+\mu \nabla \mathbf{U}+\mu {{\left( \nabla \mathbf{U} \right)}^{\text{T}}} \\ \end{split}\end{equation} \tag{2}$$
将公式(2)带入(1)可得：
$$\frac{\partial \rho \mathbf{U}}{\partial t}+\nabla \cdot \left( \rho \mathbf{UU} \right)=\nabla \cdot \left[ -p\mathbf{I}-\frac{2}{3}\mu \nabla \cdot \mathbf{UI}+\mu \nabla \mathbf{U}+\mu {{\left( \nabla \mathbf{U} \right)}^{\text{T}}} \right]+\mathbf{f} \tag{3}$$
后边的推导过程仅看公式(3)中右边的第一项：
$$\text{RHS}=\nabla \cdot \left( -p\mathbf{I} \right)+\nabla \cdot \left[ -\frac{2}{3}\mu \nabla \cdot \mathbf{UI}+\mu \nabla \mathbf{U}+\mu {{\left( \nabla \mathbf{U} \right)}^{\text{T}}} \right] \tag{4} $$
公式(4)中第一项为压力梯度：
$$\nabla \cdot \left( -p\mathbf{I} \right)=-\nabla p \tag{5} $$
推导过程为：
$$\begin{align} \nabla \cdot \left( -p\mathbf{I} \right)&=\nabla \cdot \left[ -p\left( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\\end{matrix} \right) \right]=\nabla \cdot \left( \begin{matrix} -p & 0 & 0 \\ 0 & -p & 0 \\ 0 & 0 & -p \\\end{matrix} \right) \\& \text{ =}\left[ \begin{matrix} \left( -\frac{\partial p}{\partial x} \right)+0+0 \\ 0+\left( -\frac{\partial p}{\partial y} \right)+0 \\0+0+\left( -\frac{\partial p}{\partial z} \right) \\\end{matrix} \right]=\left( \begin{matrix} -\frac{\partial p}{\partial x} \\-\frac{\partial p}{\partial y} \\-\frac{\partial p}{\partial z} \\\end{matrix} \right)=-\nabla p \\\end{align}$$
公式(4)中第二项括号内的内容通常用表示，代表粘性应力张量：
$$ \nabla \cdot \tau =\nabla \cdot \left[ -\frac{2}{3}\mu \nabla \cdot \mathbf{UI}+\mu \nabla \mathbf{U}+\mu {{\left( \nabla \mathbf{U} \right)}^{\text{T}}} \right] \tag{6} $$
公式(6)在OpenFOAM中可通过调用divDevRhoReff(U)或divDevReff(U)函数来进行计算，前者是可压缩时调用的函数，后者是不可压缩时调用的函数。下面分别进行介绍。
可压缩
在可压缩中计算公式调用的是divDevRhoReff(U)，其代码为：
tmp<fvVectorMatrix>lamina::divDevRhoReff(volVectorField &U) const
{
Return
(
-fvm::laplacian(muEff(), U)
-fvc::div(muEff()*dev2(T(fvc::grad(U))))
)
}对比代码和公式(6)发现二者并不对应，这是什么原因呢？下面通过公式(6)的进一步推导来进行解释。在推导公式(6)之前需要先看一个数学恒等式，后边推导会用到，这个恒等式为：
$$\nabla \cdot \mathbf{a}=tr\left( \nabla \mathbf{a} \right)=tr{{\left( \nabla \mathbf{a} \right)}^{\text{T}}}\ \tag{7}$$
其中为任意矢量。上式的证明如下：
因为
$$\begin{align}& \nabla \mathbf{a}=\left( \frac{\partial }{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial }{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial }{\partial z}\mathbf{k} \right)\left( {{a}_{1}}\mathbf{i}+{{a}_{2}}\mathbf{j}+{{a}_{3}}\mathbf{k} \right) \\& \text{ =}\left[ \begin{matrix} \frac{\partial {{a}_{1}}}{\partial x} & \frac{\partial {{a}_{2}}}{\partial x} & \frac{\partial {{a}_{3}}}{\partial x} \\\frac{\partial {{a}_{1}}}{\partial y} & \frac{\partial {{a}_{2}}}{\partial y} & \frac{\partial {{a}_{3}}}{\partial y} \\\frac{\partial {{a}_{1}}}{\partial z} & \frac{\partial {{a}_{2}}}{\partial z} & \frac{\partial {{a}_{3}}}{\partial z} \\\end{matrix} \right] \\\end{align}$$
所以
$$tr\left( \nabla \mathbf{a} \right)=\frac{\partial {{a}_{1}}}{\partial x}+\frac{\partial {{a}_{2}}}{\partial y}+\frac{\partial {{a}_{3}}}{\partial z}=\nabla \cdot \mathbf{a}$$
又因为
$$tr\left( \nabla \mathbf{a} \right)=tr{{\left( \nabla \mathbf{a} \right)}^{\text{T}}}$$
所以公式(7)得证。通过公式(7)可将公式(6)重新整理为：
$$ \nabla \cdot \tau =\nabla \cdot \left[ \mu \nabla \mathbf{U}+\mu \left( {{\left( \nabla \mathbf{U} \right)}^{\text{T}}}-\frac{2}{3}tr{{\left( \nabla \mathbf{U} \right)}^{\text{T}}}\mathbf{I} \right) \right] \tag{8} $$
$$\nabla \cdot \tau =\nabla \cdot \left( \mu \nabla \mathbf{U} \right)+\nabla \cdot \left[ \mu \left( {{\left( \nabla \mathbf{U} \right)}^{\text{T}}}-\frac{2}{3}tr{{\left( \nabla \mathbf{U} \right)}^{\text{T}}}\mathbf{I} \right) \right] \tag{9} $$
设，则式(9)变为：
$$ \nabla \cdot \tau =\nabla \cdot \left( \mu \nabla \mathbf{U} \right)+\nabla \cdot \left[ \mu \left( A-\frac{2}{3}tr\left( A \right)\mathbf{I} \right) \right] \tag{10} $$
这里需要矩阵的知识，矩阵的偏置为：
$$\begin{align}& dev\left( A \right)=A-\frac{1}{3}tr\left( A \right)\mathbf{I} \\& dev2\left( A \right)=A-\frac{2}{3}tr\left( A \right)\mathbf{I}\\\end{align} \tag{11} $$
因为公式(10)中前的系数为
，所以调用的是dev2()，可以看出公式(10)与代码是对应的，负号的差别是因为代码中将公式(10)移到了动量方程的左边。
不可压缩
在不可压中，计算公式调用的是divDevReff(U)，其代码为：
tmp<fvVectorMatrix>lamina::divDevReff(volVectorField &U) const
{
Return
(
-fvm::laplacian(nuEff(), U)
-fvc::div(nuEff()*dev(T(fvc::grad(U))))
)
}下面进行推导，将公式(6)重写为不可压的形式：
$$ \nabla \cdot \tau =\nabla \cdot \left[ -\frac{2}{3}\nu \nabla \cdot \mathbf{UI}+\nu \nabla \mathbf{U}+\nu {{\left( \nabla \mathbf{U} \right)}^{\text{T}}} \right] \tag{12} $$
由于不可压中质量守恒，所以：
$$ \nabla \cdot \mathbf{U}=0 \tag{13} $$
将式(13)代入(12)可得：
$$ \nabla \cdot \tau =\nabla \cdot \left[ \nu \nabla \mathbf{U}+\nu {{\left( \nabla \mathbf{U} \right)}^{\text{T}}} \right] \tag{14} $$
即
$$ \nabla \cdot \tau =\nabla \cdot \left( \nu \nabla \mathbf{U} \right)+\nabla \cdot \left[ \nu {{\left( \nabla \mathbf{U} \right)}^{\text{T}}} \right] \tag{15} $$
可以看到在公式(15)中是没有偏置部分的，但在OpenFOAM中，我们用divDevReff计算粘性应力张量，所以构造以下方程：
$$ \nabla \cdot \tau =\nabla \cdot \left( \nu \nabla \mathbf{U} \right)+\nabla \cdot \left[ \nu {{\left( \nabla \mathbf{U} \right)}^{\text{T}}}-\nu \frac{1}{3}tr{{\left( \nabla \mathbf{U} \right)}^{\text{T}}}\mathbf{I}+\nu \frac{1}{3}tr{{\left( \nabla \mathbf{U} \right)}^{\text{T}}}\mathbf{I} \right] \tag{16} $$
将公式(16)整理为：
$$ \nabla \cdot \tau =\nabla \cdot \left( \nu \nabla \mathbf{U} \right)+\nabla \cdot \left[ \nu \left( {{\left( \nabla \mathbf{U} \right)}^{\text{T}}}-\frac{1}{3}tr{{\left( \nabla \mathbf{U} \right)}^{\text{T}}}\mathbf{I} \right)+\nu \frac{1}{3}tr{{\left( \nabla \mathbf{U} \right)}^{\text{T}}}\mathbf{I} \right] \tag{17} $$
公式(17)中最后一项为0，因为：
$$\nu \frac{1}{3}tr{{\left( \nabla \mathbf{U} \right)}^{\text{T}}}\mathbf{I}=\nu \frac{1}{3}tr\left( \nabla \mathbf{U} \right)\mathbf{I}=\nu \frac{1}{3}\nabla \cdot \mathbf{UI}=0$$
所以公式(17)可整理为：
$$ \nabla \cdot \tau =\nabla \cdot \left( \nu \nabla \mathbf{U} \right)+\nabla \cdot \left[ \nu \left( {{\left( \nabla \mathbf{U} \right)}^{\text{T}}}-\frac{1}{3}tr{{\left( \nabla \mathbf{U} \right)}^{\text{T}}}\mathbf{I} \right) \right] \tag{18} $$
同样假定，所以公式(18)变为：
$$ \nabla \cdot \tau =\nabla \cdot \left( \nu \nabla \mathbf{U} \right)+\nabla \cdot \left[ \nu \left( A-\frac{1}{3}tr\left( A \right)\mathbf{I} \right) \right] \tag{19} $$
将公式(11)中对应的公式代入式(19)可得：
$$ \nabla \cdot \tau =\nabla \cdot \left( \nu \nabla \mathbf{U} \right)+\nabla \cdot \left[ \nu \left( dev\left( A \right) \right) \right] \tag{20} $$
可以看出公式(20)与代码是对应的。