扫描线（一）——求矩形面积并

前言

扫描线应该是一个很有用的算法。

它有许多用途，比较经典的应该就是用来求矩形面积并。

什么是矩形面积并

或许你会问，什么是矩形面积并？

在一个平面上，有若干个矩形，它们覆盖的总面积就是矩形面积并（重叠部分只算一次）。

要求矩形面积并，我们就可以用扫描线。

离散化

首先，我们要将这张图离散化预处理一下。

离散化的过程应该比较简单，将每个节点的坐标全部存在一个数组中，排序+去重之后，就形成了一个离散化之后的数组，把它们加入一个 $map$ 中即可（或直接二分）。

代码如下：

for(i=1;i<=n;++i) cin>>x1>>y1>>x2>>y2,xy[(i<<2)-3]=x1,xy[(i<<2)-2]=y1，xy[(i<<2)-1]=y2,xy[i<<2]=x2;//将每一个点的坐标全部存在一个数组中
sort(xy+1,xy+(n<<2)+1);//排序
for(i=1;i<=n<<2;++i)//枚举每一个值 
    if(!p[xy[i]]) f[p[xy[i]]=++cnt]=xy[i];//p存储离散化后的值，f存储原来的值，需去重

如何存储一个矩形

接下来，我们要考虑如何存储一个读入的矩形。

不难发现，其实我们只需要记录每个矩形的左右两条边即可，其中一条标记为正，一条标记为负，表示开始与结束。

代码如下：

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struct Square//一个结构体
{
    int flag,nx,ny1,ny2;//flag记录这条边的类型（1或-1，分别表示开始与结束），nx，ny1，ny2分别存储x，y1，y2离散化后的值
    double x,y1,y2;//x记录这条边x轴上的坐标，y1，y2分别记录这条边在y轴上的起点与终点
}a[2*N+5];

for(i=1;i<=n;++i) cin>>x1>>y1>>x2>>y2,a[(i<<1)-1]=(Square){1,0,0,0,x1,y1,y2},a[i<<1]=(Square){-1,0,0,0,x2,y1,y2};//读入并存储每一个矩形

//离散化的过程（见上）

for(i=1;i<=n<<1;++i)//将每条边的坐标更新为离散化后的坐标
    a[i].nx=p[a[i].x],a[i].ny1=p[a[i].y1],a[i].ny2=p[a[i].y2];

扫描线的核心过程

做完了以上的一系列处理，我们就可以开始用扫描线来扫描了。

首先，我们按照从左往右的顺序枚举每一条边。
每当 $x$ 坐标发生了变化，我们就要更新 $ans$ 了，需将 $ans$ 加上 $x$ 轴的变化量×当前被覆盖的长度。
对于当前操作的边，我们又分两种讨论：
- 对于一条开始的边（ $flag=1$ ），我们就将这条边所覆盖的节点被覆盖次数加 $1$
- 对于一条结束的边（ $flag=-1$ ），我们就将这条边所覆盖的节点被覆盖次数减 $1$
综上所述，我们只需将这条边所覆盖的节点被覆盖次数加上 $flag$ 即可。

不难发现，在最坏情况下时间复杂度是 $O(n^2)$ 的。

因此，就需要优化。

线段树优化

其实这题的优化也很简单，直接用线段树维护即可。

对于每个节点，需要维护这个节点所代表的区间内被覆盖的长度 $Sum[i]$ 以及这个区间被覆盖的次数 $Exist[i]$ 。

不难发现，对于某一时刻，被覆盖的总长度应为 $Sum[1]$ （因为 $1$ 号节点代表的区间为 $[1...n]$ ），因此我们只需写区间修改操作即可。

代码如下：

inline void PushUp(int l,int r,int rt)//从子节点上传信息
{
    if(Exist[rt]) Sum[rt]=f[r+1]-f[l];//如果当前节点本身就被覆盖了，那么这个区间被覆盖的总长度就是f[r+1]-f[l]
    else if(l==r) Sum[rt]=0;//不然，如果这个区间只有一个节点，那么被覆盖的总长度为0
    else Sum[rt]=Sum[rt<<1]+Sum[rt<<1|1];//否则，被覆盖的总长度就等同于左右子节点被覆盖的总长度之和
}
inline void Update(int l,int r,int rt,int L,int R,int v)//线段树的区间修改
{
    if(L>R) return;//如果修改区间的左边界大于右边界，就退出修改
    if(L<=l&&r<=R) return (void)(Exist[rt]+=v,PushUp(l,r,rt));//如果当前区间被修改区间包含，就更新当前节点信息
    register int mid=l+r>>1;
    if(L<=mid) Update(l,mid,rt<<1,L,R,v);//修改左儿子
    if(R>mid) Update(mid+1,r,rt<<1|1,L,R,v);//修改右儿子
    PushUp(l,r,rt);//从子节点上传信息
}

这样，就可以将代码时间复杂度降为 $O(nlogn)$ 了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100
using namespace std;
int n,cnt,Exist[N<<4];
double Sum[N<<4],xy[(N<<2)+5];
struct Square//一个结构体
{
    int flag,nx,ny1,ny2;//flag记录这条边的类型（1或-1，分别表示开始与结束），nx，ny1，ny2分别存储x，y1，y2离散化后的值
    double x,y1,y2;//x记录这条边x轴上的坐标，y1，y2分别记录这条边在y轴上的起点与终点
}a[2*N+5];
map<double,int> p;map<int,double> f;//p存储离散化后的值，f存储原来的值
//线段树模板--------------------------------------------------------------------
inline void PushUp(int l,int r,int rt)//从子节点上传信息
{
    if(Exist[rt]) Sum[rt]=f[r+1]-f[l];//如果当前节点本身就被覆盖了，那么这个区间被覆盖的总长度就是f[r+1]-f[l]
    else if(l==r) Sum[rt]=0;//不然，如果这个区间只有一个节点，那么被覆盖的总长度为0
    else Sum[rt]=Sum[rt<<1]+Sum[rt<<1|1];//否则，被覆盖的总长度就等同于左右子节点被覆盖的总长度之和
}
inline void Update(int l,int r,int rt,int L,int R,int v)//线段树的区间修改
{
    if(L>R) return;//如果修改区间的左边界大于右边界，就退出修改
    if(L<=l&&r<=R) return (void)(Exist[rt]+=v,PushUp(l,r,rt));//如果当前区间被修改区间包含，就更新当前节点信息
    register int mid=l+r>>1;
    if(L<=mid) Update(l,mid,rt<<1,L,R,v);//修改左儿子
    if(R>mid) Update(mid+1,r,rt<<1|1,L,R,v);//修改右儿子
    PushUp(l,r,rt);//从子节点上传信息
}
//----------------------------------------------------------------------------
inline bool cmp(Square x,Square y)//比较两条边
{
    return x.nx<y.nx;//返回x轴坐标较小的
}
int main()
{
    register int i;register double x1,x2,y1,y2;
    for(i=1;i<=n;++i) cin>>x1>>y1>>x2>>y2,a[(i<<1)-1]=(Square){1,0,0,0,xy[(i<<2)-3]=x1,xy[(i<<2)-2]=y1,xy[(i<<2)-1]=y2},a[i<<1]=(Square){-1,0,0,0,xy[i<<2]=x2,y1,y2};
    //一个离散化的过程--------------------------------------------------------------------
    sort(xy+1,xy+(n<<2)+1);//排序
    for(i=1;i<=n<<2;++i)//枚举每一个值 
        if(!p[xy[i]]) f[p[xy[i]]=++cnt]=xy[i];
    for(i=1;i<=n<<1;++i)//将每条边的坐标更新为离散化后的坐标
        a[i].nx=p[a[i].x],a[i].ny1=p[a[i].y1],a[i].ny2=p[a[i].y2];
    //--------------------------------------------------------------------------------
    sort(a+1,a+(n<<1)+1,cmp),memset(Exist,0,sizeof(Exist)),memset(Sum,0,sizeof(Sum));
    int Now=1;double ans=0.0;//Now表示当前扫描到的边的编号，ans记录面积
    for(i=1;i<=cnt;++i)//枚举x坐标
    {
        ans+=(f[i]-f[i-1])*Sum[1];//更新ans
        if(a[Now].nx^i) continue;//如果当前边不在扫描到的这一列上，就跳过
        while(a[Now].nx==i&&Now<=n<<1)
            Update(1,cnt,1,a[Now].ny1,a[Now].ny2-1,a[Now].flag),++Now;//修改，操作下一条边
    }
    return printf("%.2lf",ans),0;
}

例题

【HDU1542】Atlantis

Link

【HDU1542】Atlantis 的题解详见博客【HDU1542】Atlantis （扫描线的经典运用）