论文Learning Piece-wise Linear Models from Large Scale Data for Ad Click Prediction
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一、论文基本描述。
CTR预估由于是针对大规模非线性数据的机器学习存在很多的困难。
- 本论文提出了一个新型的模型（LS-PLM）。
- 利用
$L_1$和$L_{2,1}$正则来解决学习问题，将会导致非凸和非光滑的优化问题。因此，为解决这个问题提出了一种基于方向导数和拟牛顿法的有效方法 - 另外，设计了工业级的数百台机器的模型训练系统。
LS-PLM可以捕捉非线性的特征数据，从而减少特征工程的工作。从2012年这个模型就开始大规模应用到阿里巴巴的展示广告预估上。
二、解决方法、思想
点击率预估是在线广告的核心问题。传统的方法是LR模型，LR模型利用$L_1$正则能生成稀疏解。实际上CTR预估是一个非线性的问题，用户点击涉及到流量质量，用户兴趣，上下文特征，以及它们的交叉特征。为了解决LR的非线性问题，需要做大量的特征工程。另一方面，可以设计一些非线性模型，Facebook 利用决策树➕LR的方式。但是树形模型不适合非常稀疏的高纬特征数据。FM能够有效的解决特征交叉的问题，但是，不能解决所有的数据非线性问题。
本论文提出了一种基于大规模数据的分片线性回归模型（LS_PLM）,它是基于分治法的思想。首先将特征空间分解为若干本地区域，然后针对每一个区域训练一个线性模型，把最后所有线性模型预测的权重作为输出结果。有如下三个特点：
- 非线性性。
- 大规模性。巨大的样本量，高纬特征。
- 稀疏性。利用
$L_1$和$L_{2,1}$正则可以很好的获得稀疏性。
模型公式：
p(y=1|x)=g(\sum_{j=1}^m\sigma(\mu_{j}^{T}x)\eta(w_j^Tx))预测$p(y|x)$需要考虑两部分，第一部分$\sigma(\mu_{j}^{T})$将特征空间分成m（超参数）个区域，第二部分$\eta(w_j^Tx)$对每个区域进行预测。$g(.)$确保我们的模型满足定义的概率函数。
特例,利用softmax作为分割函数，sigmoid作为预测函数，因此得到一个明确的表达式：
p(y=1|x)=\sum_{i=1}^m\frac{exp(\mu_i^Tx)}{\sum_{j=1}^mexp(\mu_j^Tx)}\cdot\frac{1}{1+exp(-w_i^Tx)}这里的混合模型可以看作是一个FOE模型：
math p(y=1|x)=\sum_{j=1}^mp(z=i|x)\cdot p(y|z=i,x)
LS_PLM的目标函数：
arg min f(\theta)=loss(\theta)+\lambda\Vert\theta\Vert_{2,1}+\beta\Vert\theta\Vert_1
loss(\theta)=-\sum_{t=1}^n[y_tlog(p(y_t=1|x_t,\theta))+(1-y_t)log(p(y_t=0|x_t,\theta))]这里$L_1$和$L_{2,1}$都是非光滑函数，这造成目标函数是非凸、非光滑的，因此很难用传统的梯度下降法和EM算法。
优化
\vartheta_{i,j}^+f(\theta)=\lim_{\alpha \to 0}\frac{f(\theta+\alpha\epsilon_{ij})-f(\theta)}{\alpha}引理1 当目标函数$f(\theta)$是由非光滑的正则函数组成的时候，例如上边提到的损失函数，那么对任何的$\theta$和$d$那么方向导数存在。
命题2 给定一个光滑损失函数和一个目标函数，有：
math d_{i,j}=\left\{ \begin{array}{c} s-\beta sign(\theta_{i,j}) ,\theta_{i,j}\neq0 \\ max\{\vert s \vert-\beta,0\}sign(s) ,\theta_{i,j}=0,\Vert\theta_{i,\cdot}\Vert_{2,1}\neq 0\\ \frac{max\{\Vert v \Vert_{2,1}-\lambda,0\}}{\Vert v \Vert_{2,1}},\Vert \theta_{i,\cdot} \Vert_{2,1}=0 \end{array} \right.
其中$s=-\nabla loss(\theta)_{i,j}-\lambda\frac{\theta_{i,j}}{\Vert\theta_{i,\cdot}\Vert_{2,1}}$,$v=max\{\vert -\nabla loss(\theta)_{i,j}\vert-\beta,0\}\cdot sign(-\nabla loss(\theta)_{i,j})$.
***
优化算法：
输入：选择初始点，$\theta^{0}$,$S\leftarrow\{\},Y\leftarrow\{\}$
for k=0 to MaxIters do
- 计算
$d^{(k)}$. - 计算
$p_{k}$. - 寻找
$\theta^{(k+1)}$. - 如果满足条件就停止，输出
$\theta^{(k+1)}$. - 更新
$S$，$S^{k}=\theta^{k}-\theta^{k-1}$ - 更新
$Y$,$Y^{k}=-d^{k}-(-d^{(k-1)})$
算法：
类似于LBFGS,修改为：
- 使用最小化非凸目标导数方向
$d(k)$代替负梯度。 - 更新方向取决于所选的方向
$d(k)$定义的。当$H(k)$不是正定时，切换到$d(k)$. - 在线性搜索时，每个搜索点都投影到前一点的orthant上。
实现
并行计算：
两个角色：工作节点，每个节点有部分的训练数据和本地模型。第二个为服务节点，每个节点存放全部的参数，
通用的特征技巧：
将特征划分为通用特征和非通用特征，
\mu_i^Tx=\mu_{i,c}^Tx_c+\mu_{i,nc}^Tx_{nc}
w_i^T=w_{i,c}^Tx_c+w_{i,nc}^Tx_{nc}有三个方面：
- 分组训练通用特征，确保这些样本存储在相同的工作节点上。
- 对于多个样本通用特征只存储一次。
- 对于通用特征更行损失函数和梯度只一次。
三、评价指标
AUC。
四、实验
通常来说，较大的m需要较多的参数有较大模型容量，但是会导致训练的成本增加。列举了不同的分片，得到的不同的AUC值。最后得到12为最好的参数。
$\lambda$和$\beta$都取1.
目前实际测试实验，采用FTRL优化的MLR模型比LR模型，可以稳定提升离线AUC2%左右。实际证明了其效果。
可参看计算广告实验.
还有Angel的实现。
五、使用&借鉴
典型的应用场景：
基于 MLR 的定向广告 CTR 预估算法
基于 MLR 算法的非线性学习能力，阿里妈妈的定向广告 CTR 预估采用了大规模原始ID 特征 + MLR 算法的架构。具体为刻画一次广告展现为特征向量，它由三部分独立构成：
- 用户部分特征（包括 userid、profile 信息、用户在淘宝平台上的历史行为特征（浏览/购买过的宝贝/店铺/类目上的 id 和频次等）
- 广告部分特征（包括 adid、campainid、广告对应的卖家店铺 id、类目 id 等）
- 场景部分特征（包括时间、位置、资源位等）
这些特征之间无传统的交叉组合，维度在 2 亿左右。然后，他们将数据直接喂给 MLR 算法，并且应用了结构化先验、pretrain+ 增量训练、线性偏置等高级技巧，让模型从数据中自动去总结和拟合规律。相比于传统的 LR+ 特征工程思路，这种解法更为高效和优雅，模型精度更高，在实际生产中的可迭代更强。
基于 MLR 的定向广告 Learning to Match 算法
Match 算法是定向广告中的一个重要环节，它的核心使命是基于用户的人口属性、历史行为等信息来猜测用户可能感兴趣的广告集合。传统的 Match 算法更多采用的是规则匹配、协同过滤等方法，方法的扩展性不强。
在阿里妈妈定向广告系统中，工程师研发了基于 MLR 的 learning to match 算法框架。简单来说，用模型的方法基于用户的行为历史来学习用户个性化的兴趣，从而召回高相关性的候选广告集。
同样地，基于MLR算法的非线性能力，可以很容易地将不同的特征源、标签体系融合到框架中，不需要过多地关注和设计特征的交叉组合，使得框架的灵活性大大增强。