BZOJ3813 奇数国

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奇数国

Description

在一片美丽的大陆上有100000个国家，记为1到100000。这里经济发达，有数不尽的账房，并且每个国家有一个银行。某大公司的领袖在这100000个银行开户时都存了3大洋，他惜财如命，因此会不时地派小弟GFS清点一些银行的存款或者让GFS改变某个银行的存款。该村子在财产上的求和运算等同于我们的乘法运算，也就是说领袖开户时的存款总和为3100000。这里发行的软妹面额是最小的60个素数（p1=2,p2=3,…,p60=281），任何人的财产都只能由这60个基本面额表示，即设某个人的财产为fortune（正整数），则fortune=p1^k1*p2^k2*……p60^K60。

领袖习惯将一段编号连续的银行里的存款拿到一个账房去清点，为了避免GFS串通账房叛变，所以他不会每次都选择同一个账房。GFS跟随领袖多年已经摸清了门路,知道领袖选择账房的方式。如果领袖选择清点编号在[a,b]内的银行财产，他会先对[a,b]的财产求和（计为product），然后在编号属于[1,product]的账房中选择一个去清点存款，检验自己计算是否正确同时也检验账房与GFS是否有勾结。GFS发现如果某个账房的编号number与product相冲，领袖绝对不会选择这个账房。怎样才算与product不相冲呢？若存在整数x,y使得number*x+product*y=1，那么我们称number与product不相冲，即该账房有可能被领袖相中。当领袖又赚大钱了的时候，他会在某个银行改变存款，这样一来相同区间的银行在不同的时候算出来的product可能是不一样的，而且领袖不会在某个银行的存款总数超过1000000。

现在GFS预先知道了领袖的清点存款与变动存款的计划，想请你告诉他，每次清点存款时领袖有多少个账房可以供他选择，当然这个值可能非常大，GFS只想知道对19961993取模后的答案。

Input

第一行一个整数x表示领袖清点和变动存款的总次数。

接下来x行，每行3个整数ai,bi,ci。ai为0时表示该条记录是清点计划，领袖会清点bi到ci的银行存款，你需要对该条记录计算出GFS想要的答案。ai为1时表示该条记录是存款变动，你要把银行bi的存款改为ci，不需要对该记录进行计算。

Output

输出若干行，每行一个数，表示那些年的答案。

Sample Input

6
0 1 3
1 1 5
0 1 3
1 1 7
0 1 3
0 2 3

Sample Output

18
24
36
6

explanation

初始化每个国家存款都为3;

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1到3的product为27，[1,27]与27不相冲的有18个数;

1的存款变为5;

1到3的product为45，[1,45]与45不相冲的有24个数;

1的存款变为7;

1到3的product为63，[1,63]与63不相冲的有36个数;

2到3的product为9，[1,9]与9不相冲的有6个数。

HINT

x≤100000，当ai=0时0≤ci−bi≤100000

题解

很容易想到直接开个数组统计 $60$ 个质数的指数，但是这样复杂度是 $O(nlog_2n\times 60)$ 的显然过不了；那为什么不直接维护区间积，直接质因子分解暴力算 $\varphi$ 呢？因为有取模在那里。

换个思路，虽然统计每个质数的指数无法快速维护，但是如果只统计每个质数是否出现，是可以压到 $long\ long$ 里从而快速合并的。

但是仅仅知道有哪些质数显然不能算出答案，不过我们还能维护区间积在模意义下的值，自然想到计算 $\varphi$ 的另一公式：

φ (x) = x \prod_{p | x} \frac{p - 1}{p}

$\varphi(x)=x\prod_{p|x}\frac{p-1}{p}$

这样，我们只需要处理出质数的逆元，就能通过上面的式子计算出 $\varphi$ 在模意义下的值。

代码

#include<bits/stdc++.h> 
#define ll long long
#define ls v<<1
#define rs ls|1
using namespace std;
const int M=4e5+5,n=1e5,mod=19961993;
struct sd{ll pro,mas;};
sd operator +(sd a,sd b){return (sd){a.pro*b.pro%mod,a.mas|b.mas};}
int p[70],m;
bool isp[300];
ll prod[M],mask[M],inv[M],pao[M];
ll power(ll x,ll p){ll r=1;for(;p;p>>=1,x=x*x%mod)if(p&1)r=r*x%mod;return r;} 
void pre()
{
    for(int i=2;i<=281;++i)
    {
        if(!isp[i])p[++p[0]]=i;
        for(int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=281;++j){isp[i*p[j]]=1;if(i%p[j]==0)break;}
    }
    pao[0]=1;for(int i=1;i<=60;++i)pao[i]=pao[i-1]<<1,inv[i]=power(p[i],mod-2);
}
void up(int v){mask[v]=mask[ls]|mask[rs],prod[v]=prod[ls]*prod[rs]%mod;}
void build(int v,int le,int ri){if(le==ri){prod[v]=3,mask[v]=1<<2;return;}int mid=le+ri>>1;build(ls,le,mid);build(rs,mid+1,ri);up(v);}
void divide(int v,int val){mask[v]=0;for(int i=1;i<=60;++i)if(val%p[i]==0)mask[v]|=pao[i];}
void modify(int v,int le,int ri,int pos,int val)
{
    if(le==ri){prod[v]=val,divide(v,val);return;}
    int mid=le+ri>>1;
    if(pos<=mid)modify(ls,le,mid,pos,val);else modify(rs,mid+1,ri,pos,val);up(v);
}
sd ask(int v,int le,int ri,int lb,int rb)
{
    if(lb<=le&&ri<=rb)return (sd){prod[v],mask[v]};
    int mid=le+ri>>1;sd ans;ans.pro=1,ans.mas=0;
    if(lb<=mid)ans=ask(ls,le,mid,lb,rb);
    if(mid<rb)ans=ans+ask(rs,mid+1,ri,lb,rb);
    return ans;
}
ll ask(int le,int ri)
{
    sd ans=ask(1,1,n,le,ri);
    for(int i=1;i<=60;++i)if(ans.mas&pao[i])(ans.pro*=inv[i]*(p[i]-1)%mod)%=mod;
    return ans.pro;
}
void in(){scanf("%d",&m);}
void ac()
{
    pre();build(1,1,n);int op,a,b;
    while(m--){scanf("%d%d%d",&op,&a,&b);if(op)modify(1,1,n,a,b);else printf("%lld\n",ask(a,b));}
}
int main(){in();ac();}

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