题解——洛谷P2734 游戏A Game 题解（区间DP）

题面

题目背景

有如下一个双人游戏:N(2 <= N <= 100)个正整数的序列放在一个游戏平台上，游戏由玩家1开始，两人轮流从序列的任意一端取一个数，取数后该数字被去掉并累加到本玩家的得分中，当数取尽时，游戏结束。以最终得分多者为胜。

题目描述

编一个执行最优策略的程序，最优策略就是使玩家在与最好的对手对弈时，能得到的在当前情况下最大的可能的总分的策略。你的程序要始终为第二位玩家执行最优策略。

输入输出格式

输入格式：

第一行: 正整数N, 表示序列中正整数的个数。

第二行至末尾: 用空格分隔的N个正整数（大小为1-200）。

输出格式：

只有一行，用空格分隔的两个整数: 依次为玩家一和玩家二最终的得分。

输入输出样例

输入样例#1： 

6 
4 7 2 9 5 2

输出样例#1： 

18 11

说明

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 3.3

题解

首先它看起来像是一道博弈论，但是仔细分析，就会发现它不过是要求第二个人取数的和值最大

所以是一道区间取数的DP（没错我瞄了眼题解）

然后开始做题

蒟蒻的我还是naive的很，然后脑子一热就写下了以下的状态转移

\( dp[i][j] = max(dp[i+1][j]+a[i],dp[i][j-1]+a[j] ) \)

简直脑残（雾）

因为这是两个人取数，不是一个人拿数字，所以理所当然的就WA了

然后我们考虑到，在序列中，一个人拿完之后，另一个人会拿到其他的所有

所以让\( dp[i][j] \)表示先手在区间\( \left [ i,j \right ] \)的最大值

状态转移方程就变成了

\( dp[i][j]=max(sum[i][j]-dp[i+1][j],sum[i][j]-dp[i][j-1]) \)

然后前缀和随便搞一搞

A了QwQ

被这种题吊打，果然我还是太蒟蒻了

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int dp[111][111],a[111],sum[111],n;
int main(){
  scanf("%d",&n);
  for(int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%d",&a[i]),sum[i]+=sum[i-1]+a[i];
  for(int i=1;i<=n;i++)
    dp[i][i]=a[i];
  for(int l=2;l<=n;l++)
    for(int i=1;i+l-1<=n;i++)
      dp[i][i+l-1]=sum[i+l-1]-sum[i-1]-min(dp[i+1][i+l-1],dp[i][i+l-2]);
  printf("%d %d",dp[1][n],sum[n]-dp[1][n]);
  return 0;
}