「Codeforces 1012B」Chemical table - 并查集

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原文出处：https://hyp1231.github.io/2018/07/31/20180731-cf1012b/

题意

给定一个 $n \times m$ 的矩阵，其中 $q$ 个位置已经被填充。
有一条规则，如果 $(r_1, c_1)$ ，$(r_1, c_2)$，$(r_2, c_1)$ 均被填充，则 $(r_2, c_2)$ 也被填充。任何被其他三个位置生成的位置，也可以继续生成其他位置。问最少需要再人为填充多少元素，使矩阵被填满。

链接

Codeforces 1012B

题解

我们考虑自动填充的规则，又三个点自动生成第四个点。如果 $(r_1, c_1)$ ，$(r_1, c_2)$，$(r_2, c_1)$ 均被填充，则可以看成：

1. $(r_1, c_1)$：$r_1$ 和 $c_1$ 被联系起来
2. $(r_1,c_2)$：$r_1$ 和 $c_2$ 被联系起来
3. 由 $1, 2 \to$ $c_1$ 和 $c_2$ 被联系起来
4. $(r_2, c_1)$：$r_2$ 和 $c_1$ 被联系起来
5. 由 $3, 4 \to$ $r_2$ 和 $c_2$ 被联系起来，即有 $(r_2, c_2)$ 被填充

这两个模型是等价的。至此，我们把每个边的标号和每个列的标号都看成抽象图中的点，每个给出的点 $(r, c)$ 看成一个关于点 $r$ 和点 $c$ 属于同一集合的声明。故我们可以使用并查集维护，计算出当前矩阵中独立集合的数量 $N$。

考虑需要人工合并的次数（即认为填充元素的数目）。考虑当前矩阵中未被填充的点，人工填充这个点一定可以实现两个集合的合并，总集合数即减 $1$。每次人工填充后均自动填充所有可以被自动填充的点。故 $N-1$ 次人工填充后，将全部属于一个集合，矩阵被填满，所以原题的答案即为 $N-1$。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

typedef long long LL;

const int N = 200010;

int n, m, q;
int pre[N << 1], rank[N << 1];
bool vis[N << 1];

int find(int x) {
    return x == pre[x] ? x : pre[x] = find(pre[x]);
}

void merge(int x, int y) {
    int rx = find(x), ry = find(y);
    if (rx != ry) {
        if (rank[rx] == rank[ry]) {
            pre[ry] = rx;
            rank[rx]++;
        } else if(rank[rx] < rank[ry]) {
            pre[rx] = ry;
        } else {
            pre[ry] = rx;
        }
    }
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);

    std::cin >> n >> m >> q;

    for (int i = 1; i <= m + n; ++i) {
        pre[i] = i;
    }   // 初始化并查集

    int r, c;
    for (int i = 0; i < q; ++i) {
        std::cin >> r >> c;
        c += n;     // 列的编号: 1 + n ~ m + n
        merge(r, c);
    }

    long long ans = 0;
    for (int i = 1; i <= m + n; ++i) {
        int root = find(i);
        if (!vis[root]) {
            vis[root] = true;
            ++ans;  // 找到新的连通块
        }
    }

    std::cout << ans - 1 << std::endl;

    return 0;
}