ACM 2018 南京网络赛H题Set解题报告

题目描述

给定$n$个数$a_i$，起初第$i$个数在第$i$个集合。有三种操作（共$m$次）：

1 $u$ $v$ 将第$u$个数和第$v$个数所在集合合并

2 $u$ 将第$u$个数所在集合所有数加1

3 $u$ $k$ $x$ 问$u$所在集合有多少个数模$2^k$余$x$。

数据范围：$n,m \le 500000,a_i \le 10^9, 0 \le k \le 30$。

简要题解

显然此题可以用set加启发式合并在$O(n \log ^2 n)$时间复杂度解决本题，但此题时限1.5s，必须使用一个log的做法。事实上，这是一道十分套路的Trie树题目。

首先用并查集维护连通性。

下面先考虑操作3，这相当于询问低$k$位二进制固定时集合中元素个数，可以用Trie树，维护一个子树中终结结点有多少个即可。

对于加1操作，可以在Trie树上打标记，类似线段树进行pushDown标记下传。此题pushDown函数很新颖（之前没写过这样的pushDown），详见代码。

对于合并操作，类似线段树合并。由于初始时$n$个数共需要$O(n \log 10^9)$个结点，而花费O(1)的时间会将总结点数减1，故Trie树合并的总时间复杂度也为$O(n \log 10^9)$。关于线段树合并，可以做这道入门题练手：Codeforces Gym 101194G（2016EC Final）

总时间复杂度$O((n+q) \log 10^9)$。

注意事项

此题空间复杂度$O(n \log 10^9)$。如果Trie树合并使用新开的结点，每个结构体16B，将需要576MB，这会MLE。考虑Trie树合并时不新开结点，可以将空间降至288MB。

完整代码

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<vector>
 4 #define DEPTH 30
 5 using namespace std;
 6 struct Trie{
 7     int size;
 8     int next[2];
 9     int tag;
10 }trie[20000001];
11 int cnt;
12 int newTrie(){
13     memset(&trie[++cnt], 0, sizeof(Trie));
14     return cnt;
15 }
16 inline void pushDown(int i){
17     int &t = trie[i].tag;
18     int &l = trie[i].next[0], &r = trie[i].next[1];
19     if (t){
20         if (t & 1){ swap(l, r); trie[l].tag++; }
21         if (t >= 2){ trie[l].tag += t / 2; trie[r].tag += t / 2; }
22         t = 0;
23     }
24 }
25 inline void pushUp(int i){
26     trie[i].size = trie[trie[i].next[0]].size + trie[trie[i].next[1]].size;
27 }
28 void insert(int i, int depth, int x)
29 {
30     if (!depth){ trie[i].size++; return; }
31     pushDown(i);
32     int &pos = trie[i].next[x & 1];
33     if (!pos)pos = newTrie();
34     insert(pos, depth - 1, x >> 1);
35     pushUp(i);
36 }
37 void merge(int& i, int j, int k, int depth)
38 {
39     if (j&&k){
40         i = j;
41         if (!depth){
42             trie[i].size += trie[k].size;
43             return;
44         }
45         pushDown(j); pushDown(k);
46         for (int c = 0; c < 2; c++)
47             merge(trie[i].next[c], trie[j].next[c], trie[k].next[c], depth - 1);
48         pushUp(i);
49     }
50     else i = j ? j : k;
51 }
52 int f[600001], id[600001];
53 int getFather(int i)
54 {
55     if (f[i] == i)return i;
56     return f[i] = getFather(f[i]);
57 }
58 int main()
59 {
60     int n, m, x, u, v, k;
61     scanf("%d%d", &n, &m);
62     for (int i = 1; i <= n; i++){
63         scanf("%d", &x);
64         id[i] = newTrie();
65         f[i] = i;
66         insert(id[i], DEPTH, x);
67     }
68     while (m--){
69         scanf("%d%d", &x, &u);
70         u = getFather(u);
71         if (x == 1){
72             scanf("%d", &v);
73             v = getFather(v);
74             if (u != v){
75                 f[u] = v;
76                 merge(id[v], id[u], id[v], DEPTH);
77             }
78         }
79         else if (x == 2)trie[id[u]].tag++;
80         else{
81             scanf("%d%d", &k, &x);
82             int cur;
83             for (cur = id[u]; k; k--){
84                 pushDown(cur);
85                 cur = trie[cur].next[x & 1];
86                 if (!cur)break;
87                 x >>= 1;
88             }
89             if (!cur)printf("0\n");
90             else printf("%d\n", trie[cur].size);
91         }
92     }
93 }