Python5.1

递归函数

在函数内部，可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身，这个函数就是递归函数。
阶乘n! = 1 x 2 x 3 x … x n，用函数fact(n)表示：
fact(n) = n! = 1 x 2 x 3 x … x (n-1) x n = (n-1)! x n = fact(n-1) x n
所以，fact(n)可以表示为n x fact(n-1)，只有n=1时需要特殊处理。
所以，fact(n)用递归的方式写出来就是：

>>> def fact(n):
...     if n==1:
...         return 1
...     return n*fact(n-1)
...
>>> fact(5)
120

递归函数的优点是定义简单，逻辑清晰。理论上，所有的递归函数都可以写成循环的方式，但循环的逻辑不如递归清晰。
使用递归函数需要注意防止栈溢出。在计算机中，函数调用是通过栈（stack）这种数据结构实现的，每当进入一个函数调用，栈就会加一层栈帧，每当函数返回，栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的，所以，递归调用的次数过多，会导致栈溢出。

>>> fact(999)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "<stdin>", line 4, in fact
  File "<stdin>", line 4, in fact
  File "<stdin>", line 4, in fact
  [Previous line repeated 994 more times]
  File "<stdin>", line 2, in fact
RecursionError: maximum recursion depth exceeded in comparison  #超过最大递归深度

解决递归调用栈溢出的方法是通过尾递归优化，事实上尾递归和循环的效果是一样的，所以，把循环看成是一种特殊的尾递归函数也是可以的。
尾递归是指，在函数返回的时候，调用自身本身，并且，return语句不能包含表达式。这样，编译器或者解释器就可以把尾递归做优化，使递归本身无论调用多少次，都只占用一个栈帧，不会出现栈溢出的情况。
上面的fact(n)函数由于return n * fact(n - 1)引入了乘法表达式，所以就不是尾递归了。要改成尾递归方式，需要多一点代码，主要是要把每一步的乘积传入到递归函数中：

>>> def fact(n):
...     return fact_iter(n,1)
...
>>> def fact_iter(num,product):
...     if num==1:
...         return product
...     return fact_iter(num-1,num*product)
...
>>> fact(5)
120

可以看到，return fact_iter(num - 1, num * product)仅返回递归函数本身，num - 1和num * product在函数调用前就会被计算，不影响函数调用。
fact(5)对应的fact_iter(5, 1)的调用如下：
fact（5）
fact_iter(5,1)
fact_iter(4,5)
fact_iter(3,20)
fact_iter(2,60)
fact_iter(1,120)
120
尾递归调用时，如果做了优化，栈不会增长，因此，无论多少次调用也不会导致栈溢出。
遗憾的是，大多数编程语言没有针对尾递归做优化，Python解释器也没有做优化，所以，即使把上面的fact(n)函数改成尾递归方式，也会导致栈溢出。

小结

使用递归函数的优点是逻辑简单清晰，缺点是过深的调用会导致栈溢出。
针对尾递归优化的语言可以通过尾递归防止栈溢出。尾递归事实上和循环是等价的，没有循环语句的编程语言只能通过尾递归实现循环。
Python标准的解释器没有针对尾递归做优化，任何递归函数都存在栈溢出的问题。

练习：

汉诺塔的移动可以用递归函数非常简单地实现。
请编写move(n, a, b, c)函数，它接收参数n，表示3个柱子A、B、C中第1个柱子A的盘子数量，然后打印出把所有盘子从A借助B移动到C的方法，
注意：首先我们肯定是把上面n-1个盘子移动到柱子B上，然后把最大的一块放在C上，最后把B上的所有盘子移动到C上

>>> def move(n,a,b,c):
...     if n==1:
...         print(a,'->',c)
...     else:
...         move(n-1,a,c,b)
...         print(a,'->',c)
...         move(n-1,b,a,c)
...
>>> move(3,'A','B','C')
A -> C
A -> B
C -> B
A -> C
B -> A
B -> C
A -> C
>>> move(2,'A','B','C')
A -> B
A -> C
B -> C