【洛谷】P1063 能量项链【区间DP】

 P1063 能量项链

题目描述

在MarsMars星球上，每个MarsMars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有NN颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是MarsMars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为mm，尾标记为rr，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为nn，则聚合后释放的能量为$m \times r \times nm×r×n$（MarsMars单位），新产生的珠子的头标记为mm，尾标记为nn。

需要时，MarsMars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4N=4，44颗珠子的头标记与尾标记依次为(2,3) (3,5) (5,10) (10,2)(2,3)(3,5)(5,10)(10,2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(jj⊕kk)表示第j,kj,k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第44、11两颗珠子聚合后释放的能量为：

$(44⊕11)=10 \times 2 \times 3=60=10×2×3=60$

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为：

$((44⊕11)⊕22)⊕33）=10 \times 2 \times 3+10 \times 3 \times 5+10 \times 5 \times 10=71010×2×3+10×3×5+10×5×10=710$

输入输出格式

输入格式：

第一行是一个正整数N(4≤N≤100)N(4≤N≤100)，表示项链上珠子的个数。第二行是NN个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过10001000。第ii个数为第ii颗珠子的头标记(1≤i≤N)(1≤i≤N)，当i<N< span>i<N<span>时，第ii颗珠子的尾标记应该等于第i+1i+1颗珠子的头标记。第NN颗珠子的尾标记应该等于第11颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出格式：

一个正整数E(E≤2.1 \times (10)^9)E(E≤2.1×(10)9)，为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

输入输出样例

输入样例#1：  复制

4
2 3 5 10

输出样例#1：  复制

710

说明

NOIP 2006 提高组 第一题

可以当做是区间DP的模板题了，常见套路先$for$长度，再$for$起点，以长度为层数去更新每一层的区间，有时候中间要$for$断点。

这道题差点错了就是因为断点的范围，一定要注意不要超过$[i,j]$，一次超过了会影响很多次的结果。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

int N, a[205], dp[205][205];

int main ( ) {
    scanf ( "%d", &N );
    for ( int i = 1; i <= N; i ++ )    
        scanf ( "%d", &a[i] ), a[i+N] = a[i];
    for ( int len = 2; len <= N; len ++ )
        for ( int i = 1; i <= N * 2 - len + 1; i ++ ) {
            int j = i + len - 1;
            for ( int k = i; k <= j-1; k ++ )
                dp[i][j] = max ( dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + a[i] * a[k+1] * a[j+1] );
        }
    int ans = 0;
    for ( int i = 1; i <= N * 2 - N + 1; i ++ )
        ans = max ( ans, dp[i][i+N-1] );
    printf ( "%d", ans );
    return 0;
}