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引述
KM算法全称Kuhn－Munkres，是一种求二分图完全、完美、最佳等匹配的方法，其实三个形容词都是指两个集内的所有顶点能够一一匹配，并且所获得的权值最大或最小。如果了解过，其实用最小费用最大流也可以，不过本文就讲解KM算法。在学习的时候，发现KM里面有几处思想挺难懂的，因为没见过吧，所以我将着重讲解下里面独特的思想。
算法步骤
之前求不带权值的二分图匹配时，我们用的方法是匈牙利算法。而这次换成带权图，并且要求出最佳匹配，也离不开匈牙利算法，可以说匈牙利算法的思想也含在其内。
第一步：初始化可行标杆（顶标）的值；
第二步：用匈牙利算法寻找完全匹配；
第三步：若未找到完全匹配，则修改可行标杆（顶标）的值；
第四步：重复第二、三步，直到找到相等子图的完全匹配为止。
我用橘色标注了比较难理解的点，大概是以下几个内容：1、初始化标杆；2、寻找完全匹配；3、修改标杆；4、重复2，3步
重点理解
一、初始化标杆
（1）首先什么是标杆？标杆的作用？
标杆是指在出发集X和被匹配集Y中，所有顶点都有一个特殊的值，取自权值，但又不是权值。其实标杆的意思就是一个标准，大家朝着这个标准去做，所以标杆就是给每个顶点设立一个标准。
而这标准的作用是用于判断所匹配的顶点，连成边后，是不是集合中权值较大的边。
因为是顶点的标杆，所以也可以称为顶标，个人习惯而已。
（2）如何初始化？
这一点是要看，你找的是最大权值还是最小权值。如果是最大权值的完全匹配，那就一开始将出发集X内所有顶点的标杆，设置为它所能连边的最大权值，将配匹配集Y内所有顶点预设为0。这一点不难理解，
我们来做个假设：假设你要选出10个数字，数字的值从1到10，并且这选出的10个数字加起来要尽量大。你怎么选？那你肯定是选10个10，加起来100嘛，不可能选10个11或者更高的数字，因为规定了最大只能选10嘛。那条件改变一下，如果你手上可选的数字有数量的限制，那么你就只能从大到小选择，这也就是贪心的思想。
那我们回到标杆初始化的理念，因为我们要尽量连接权值最大的边，但每条边不一定能很好的分配，因为A连接B是最大的权值，结果C连接B也是最大的结果，这就冲突了，那我们就会再找另外一条比较大且没被选的边。所以如果要找最大权值的完全匹配，那就要先预设一个最大的情况，也就是再怎么大也不会大过这个预设情况。
还有一点就是，为什么要将匹配集Y内顶点预设为0呢？这是一个独特的想法：标杆值要满足Cx+Cy=w[x][y]；这里的C代表标杆，w表示边的权值，所以公式的意思是：X集标杆A+Y集标杆B，要等于边ab。所以我们一开始将所有Cx=max{w[x][y]}，Cy就肯定为0啦，如图1所示。
二、寻找完全匹配
（1）退出条件
完全匹配，所以一定要为所有顶点配对成功，才能退出。也就是遍历所有出发集X的顶点，然后进入whlie循环，直到找到了最优匹配值才退出，然后匹配下一个顶点。
（2）如何匹配呢？（颜色1表示出发集X内的点，颜色2表示被匹配集Y内的点）
首先和匈牙利算法的基本理念一样，在这重复描述一下：首先读入出发集X里某顶点A，然后进入循环（遍历被匹配集Y里的顶点），如果找到了一个顶点B满足：1、可以与点A相连；2、并且在这场循环里，还没被配对或重新配对过；如果都满足就进入下层判断：1、如果此点B从来还没被匹配过(即还没加入过这个匹配圈)；2、如果此点B被匹配了，但是跟它匹配的点还可以找到其他的点。如果这两个条件符合一个，就可以将点B就会被匹配给点A。
那KM算法不同地方在哪呢？让我再描述下KM匹配过程（红色标注不同）：首先读入出发集X里某顶点A，给点A做个记号(在修改标杆时会用到) ，然后进入循环（遍历被匹配集Y里的顶点，这里Y集内的点数跟X集一样，因为要一一匹配），如果找到了一个顶点B满足：1、是一条与点A相连的较优边（这里所有点都可以与点A相连，但要找一条较优的边；较优可以是较大或较小，根据具体情况来看，而且最优规则是：Cx[u]+Cy[v] == weight[u][v]，这里就是标杆值体现的作用了）；2、并且在这场循环里，还没被配对或重新配对过；如果都满足就进入下层判断：1、如果此点B从来还没被匹配过(即还没加入过这个匹配圈)；2、如果此点B被匹配了，但是跟它匹配的点还可以找到其他的点。如果这两个条件符合一个，就可以将点B就会被匹配给点A。
从上面可以看出，最大的不同就是要连一条较优的边（标杆的作用），而不仅仅是可以连的边。
三、修改标杆
在进行了一次匹配寻找后，发现没有适合的点，那就只能看看还有没有其他点，连接后是一条权值比较优的边。
（1）修改范围
因为进行了匹配寻找，所有被匹配过的边都有记录，也就是X集，Y集内匹配过的点有记号。那我们接下来要找的点就是X集里已经匹配过的点，和Y集内还没有用过的点，因为要看看有没有新的比较优的边。不看X集未匹配点，是因为还没轮到他匹配，所以在当前匹配圈内寻找最优。
（2）修改准则
要修改，就要符合一定准则。在这里准则就是Cx[u]+Cy[v] == weight[u][v]，怎么理解呢？记得我们初始化的步骤吗，一开始将X集内所有点的标杆都标注成，与自身所连最大的权值。但这种连法会产生冲突，所以我们会再选择连接其他边，权值减少是一定的。 下面我们再做个场景：假如出发集X有点A,B；被匹配集Y有点B,E。AB边权值是10，CB边权值是11，而AD边权值是9，CE边是8。
1、首先预设标杆Ca为10，标杆Cc为11，标杆Cb和Ce都是0，
2、然后开始连边：AB已经连好了，现在到C去连，结果发现最好的点B被A连了，那就要重新换边，那到底谁换呢？是C连E的权值8，还是A重新练D权值9呢？权衡一下AB+CE的权值是18，AD+CB权值是20，所以我们选择让A重新连上D。
3、下面换用标杆来表示过程2：首先AB连好后，标杆没变化；当C选择是，不能找B也就是匹配不成功（因为现在只有B加入了匹配全），所以要进行标杆修改：（1）Cc+Ce-w[c][e] = 11 + 0 - 8 = 3; （2）Ca+Cd - w[a][d] = 10 + 0 - 9 = 1; 于是发现（2）比（1）要小，也就是减少的比较少，所以我们选择让A重新与D连边，点C连B。
所以就只要看哪种修改标杆方式，使得权值减少更少，就选哪种。于是有了一个变量d = min { Cx[i] + Cy [j] - weight[i][j] }，取最少的减少量。
（3）修改方式
当我们取到了最少的减少量d后，还需要用到标杆。这时我们将出发集X里已经匹配过的点的标杆值统一减去d，然后将被匹配集Y里所有已经匹配过的点的标杆值加上d。这样做，一是记录了标杆值减少后的状态，二是又保证了Cx[u]+Cy[v] == weight[u][v]的平衡。
四、重复步骤2、3
如果弄懂了前面三步，这一步就没问题了，因为我已经在第二步就有所解释了。再描述一遍： 完全匹配，所以一定要为所有顶点配对成功，才能退出。也就是遍历所有出发集X的顶点，然后进入whlie循环，直到找到了最优匹配值才退出，然后匹配下一个顶点。
第二步：用匈牙利算法寻找完全匹配；
第三步：若未找到完全匹配，则修改可行标杆（顶标）的值；
未集合X里的顶点寻找匹配就是步骤2，如果没有找到就进行第3步，一直重复这两个步骤，直到在Y集里找到了合适的顶点，就退出，再为下一个集合X内顶点匹配。
代码实现
最后说下最小匹配和最大匹配，在这里的区别：其实只要初始化的时候，将权值相反就好了，匹配过程不用修改。
下面代码来自这个博文
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <memory.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX 100
int n;
int weight[MAX][MAX]; //权重
int Cx[MAX],Cy[MAX]; //定点标号
bool sx[MAX],sy[MAX]; //记录寻找增广路时点集x，y里的点是否搜索过
int match[MAX]; //match[i]记录y[i]与x[match[i]]相对应
bool search_path(int u) { //给x[u]找匹配,这个过程和匈牙利匹配是一样的
sx[u]=true;
for(int v=0; v<n; v++){
if(!sy[v] && Cx[u]+Cy[v] == weight[u][v]){
sy[v]=true;
if(match[v]==-1 || search_path(match[v])){ //如果第v个y点还没被占，或者第v个y点还可以找到其他可搭配的x点
match[v]=u;
return true;
}
}
}
return false;
}
int Kuhn_Munkras(bool max_weight){
if(!max_weight){ //如果求最小匹配，则要将边权取反
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
weight[i][j]=-weight[i][j];
}
//初始化顶标，Cx[i]设置为max(weight[i][j] | j=0,..,n-1 ), Cy[i]=0;
for(int i=0;i<n;i++){
Cy[i]=0;
Cx[i]=-0x7fffffff;
for(int j=0;j<n;j++)
if(Cx[i]<weight[i][j])
Cx[i]=weight[i][j];
}
memset(match,-1,sizeof(match));
//不断修改顶标，直到找到完备匹配或完美匹配
for(int u=0;u<n;u++){ //为x里的每一个点找匹配
while(1){
memset(sx,0,sizeof(sx));
memset(sy,0,sizeof(sy));
if(search_path(u)) //x[u]在相等子图找到了匹配,继续为下一个点找匹配
break;
//如果在相等子图里没有找到匹配，就修改顶标，直到找到匹配为止
//首先找到修改顶标时的增量inc, min(Cx[i] + Cy [i] - weight[i][j],inc);,Cx[i]为搜索过的点，Cy[i]是未搜索过的点,因为现在是要给u找匹配，所以只需要修改找的过程中搜索过的点，增加有可能对u有帮助的边
int inc=0x7fffffff;
for(int i=0;i<n;i++)
if(sx[i])
for(int j=0;j<n;j++)
if(!sy[j]&&((Cx[i] + Cy [j] - weight[i][j])<inc))
inc = Cx[i] + Cy [j] - weight[i][j] ;
//找到增量后修改顶标，因为sx[i]与sy[j]都为真，则必然符合Cx[i] + Cy [j] =weight[i][j]，然后将Cx[i]减inc，Cy[j]加inc不会改变等式，但是原来Cx[i] + Cy [j] ！=weight[i][j]即sx[i]与sy[j]最多一个为真，Cx[i] + Cy [j] 就会发生改变，从而符合等式，边也就加入到相等子图中
for(int i=0;i<n;i++){
if(sx[i]) //如果点x在S集合里
Cx[i]-=inc;
if(sy[i]) //如果点y在T集合里
Cy[i]+=inc;
}
}
}
int sum=0;
for(int i=0;i<n;i++)
if(match[i]>=0){
sum+=weight[match[i]][i];
// cout << match[i] <<" : "<< weight[match[i]][i] << endl;
}
if(!max_weight)
sum=-sum;
return sum;
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
scanf("%d",&weight[i][j]);
printf("%d\n",Kuhn_Munkras(1));
return 0;
}可以用这道例题HDU-2255例题来练练手，相关博文还有这个和这个。