题

给定一个长度为 $n$ 的序列 $a_i$ ，以及 $q$ 次询问，每次询问给定 $l,r$ 两参数。
对于每次询问，求 $a_l$ 到 $a_r$ 之间的最大子段和，子段的意思是连续非空子区间。
更形式化地解释：对于每次询问给定的 $l,r$ ,
求一个整数 $ans$ ，使得存在整数 $l',r'$ ，满足 $l \le l' \le r' \le r$ 且 $\sum_{i=l'}^{r'}a_i=ans$ 。
其中， $n,q \le 200000$ ， $a_i$ 在 $int$ 范围内但不保证答案在 $int$ 范围内。

解

看题就知道要数据结构啦，
我们直接考虑合并，对于某个区间，它的两个左右儿子区间怎样合并为这个区间？
首先对于每个节点，我们肯定要记录这个区间的最大子段和，记作 $gss$ 。但是如果直接把两个儿子的最大子段和取最大一定是错的，因为一个区间的最大子段可能会跨过左右区间的分界点，而不是单独分布在左区间或者右区间。
为了维护这种情况，我们得多记两个信息：
以该区间左/右端点为起点的最大子段和，分别记作 $lgss,rgss$ 。
如果能够维护，那么上述的另一种情况就也能被我们维护下来。我们只要把左区间的 $rgss$ 加上右区间的 $lgss$ ，就能得出跨分界点的最大子段和。
但我们在合并时要怎样维护 $lgss$ 和 $rgss$ 呢？由于两个信息是对称的，我们拿 $lgss$ 为例。
大区间的 $lgss$ 一定等于左区间的 $lgss$ 吗？不一定。因为可能跨过分界点。
如果跨过分界点，其就是左区间的所有元素和加上右区间的 $lgss$ 。所以我们还得在维护一个区间和，这个非常好维护。
因此这就是合并了，放个代码：

void Merge(R node &fa,R node &s1,R node &s2)
{
    fa.gss=max(max(s1.gss,s2.gss),s1.rgss+s2.lgss);
    fa.lgss=max(s1.lgss,s1.sum+s2.lgss);
    fa.rgss=max(s2.rgss,s2.sum+s1.rgss);
    fa.sum=s1.sum+s2.sum;
}

（区间 $s1$ 与 $s2$ 合并为 $fa$ 。）
理一理思路：

每个节点记录以下四个信息： $gss,lgss,rgss,sum$ 。意义见上。
$gss$ 的维护
情况一：该区间的最大子段完全落在左子区间或右子区间。 $fa.gss=max(s1.gss,s2.gss)$ 。
情况二·：该区间的最大子段跨过左右区间分界点。 $fa.gss=s1.rgss+s2.lgss$ 。
$lgss$ 的维护（ $rgss$ 同理）
情况一：该区间的 $lgss$ 对应的子段完全落在左子区间。 $fa.lgss=s1.lgss$ 。
情况二：该区间的 $lgss$ 对应子段跨过分界点。 $fa.lgss=s1.sum+s2.lgss$ 。
$sum$ 的维护： $fa.sum=s1.sum+s2.sum$ 。

合并弄清楚了其它都不难。询问就把询问区间拆成线段树上的区间然后逐个合并即可。复杂度 $O(n\ log\ n)$ 。
完整代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define R register
#define Maxn 200005
#define LL long long
#define lson (now<<1)
#define rson (lson|1)
#define inf -9999999999999999

int n,q;
struct node
{
    LL gss,lgss,rgss,sum;
    node(){gss=lgss=rgss=sum=inf;return;}
}T[Maxn<<2];
void Merge(R node &fa,R node &s1,R node &s2)
{
    fa.gss=max(max(s1.gss,s2.gss),s1.rgss+s2.lgss);
    fa.lgss=max(s1.lgss,s1.sum+s2.lgss);
    fa.rgss=max(s2.rgss,s2.sum+s1.rgss);
    fa.sum=s1.sum+s2.sum;
}
void Build(R int now,R int l,R int r)
{
    if(l==r)
    {
        scanf("%lld",&T[now].gss);
        T[now].lgss=T[now].rgss=T[now].sum=T[now].gss;
        return ;
    }
    R int mid=(l+r)>>1;
    Build(lson,l,mid);Build(rson,mid+1,r);
    Merge(T[now],T[lson],T[rson]);
}
int ql,qr;
bool key;
node ans;
void Query(R int now,R int l,R int r)
{
    if(ql<=l && qr>=r) 
    {
        if(key) Merge(ans,ans,T[now]);
        else ans=T[now],key=1;
        return;
    }
    R int mid=(l+r)>>1;
    if(mid >= ql)Query(lson,l,mid);
    if(mid < qr)Query(rson,mid+1,r);
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    Build(1,1,n);
    scanf("%d",&q);
    for (R int i=1;i<=q;++i)
    {
        scanf("%d %d",&ql,&qr);
        key=0;Query(1,1,n);
        printf("%lld\n",ans.gss);
    }
    return 0;
}

【codevs 3981】动态最大子段和 / 线段树

题

解

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