Chernoff Bound

引文

中心不等式（Concentration Inequality）是分析随机算法的经典工具，在机器学习算法的理论分析中也用的特别多。为了
学习这方面的知识，刚开始我选择的是Massart和Lugosi所著的Concentration Inequalities，无奈数学水平不够，看了一章就实在看不下去了。后来换了这本简单一些的Concentration of Measure for the Analysis of Randomized Algorithms，总算是能往后翻了。这个系列的文章作为读书笔记，希望能够督促自己坚持读完。

Concentration of meature可简单地理解为随机变量在其期望处“聚集”的行为。概率论中已经提供了两个经典工具————大数定律及中心极限定理————来刻画这种现象，然而它们所给出的结果存在几点不足：

• 上述结果只刻画了渐进情况下的性质，然而在分析实际算法时我们更青睐能够应用于finite case的结果
• 上述经典工具给出的是qualitative的结果，但我们更希望有quantitative的结果，也即明确的收敛率
• 上述经典工具给出的结果都基于独立性的假设，然而对于很多复杂的随机算法，独立性是不满足的，因此我们需要不依赖独立性假设的工具。

Chernoff Bound

Chernoff bounding technique指的是用moment-generating function来处理多个随机变量之和的期望的技巧。所谓moment-generating function被定义为随机变量XX的指数函数的期望E[eλX]E[eλX]。

先来看一个简单的例子：考虑独立同分布的Bernoulli随机变量Xi∼Bernoulli(p)Xi∼Bernoulli(p)及它们的和X=∑i∈[n]XiX=∑i∈[n]Xi，易见X∼Binomial(n,p)X∼Binomial(n,p)。现在要估计XX偏离其期望一定距离的概率，即Pr[X>n(p+t)]Pr[X>n(p+t)]。先考虑一个一般性的情况：估计Pr[X>m]Pr[X>m]。由Markov不等式易得

Pr[X>m]=Pr[eλX>eλm]≤E[eλX]eλmPr[X>m]=Pr[eλX>eλm]≤E[eλX]eλm

根据XiXi的独立性，上述式子中的moment-generating function可写成

E[eλX]=E[eλ∑iXi]=E[∏ieλXi]=∏iE[eλXi]=(peλ+q)nE[eλX]=E[eλ∑iXi]=E[∏ieλXi]=∏iE[eλXi]=(peλ+q)n

其中q=1−pq=1−p. 再令m=(p+t)nm=(p+t)n，原不等式变为

Pr[X>m]≤(peλ+qeλ(p+t))nPr[X>m]≤(peλ+qeλ(p+t))n

将上述不等式右边视为λλ的函数，找一个λ>0λ>0使右边最小，由此我们得到基本的Chernoff bound：

Pr[X>(p+t)n]≤((pp+t)p+t(qq−t)q−t)n=[exp(−(p+t)lnp+tp−(q−t)lnq−tq)]n=exp(−nDKL(p+t||p))Pr[X>(p+t)n]≤((pp+t)p+t(qq−t)q−t)n=[exp(−(p+t)lnp+tp−(q−t)lnq−tq)]n=exp(−nDKL(p+t||p))

其中DKL(⋅||⋅)DKL(⋅||⋅)是KL-Divergence. 上述bound说明，当实际分布（的参数）是(p,q)(p,q)时，观测到经验分布(p+t,q−t)(p+t,q−t)的概率随着样本大小nn的增加指数下降，且下降速率与实际分布及经验分布的KL-Divergence密切相关。

Chernoff-Hoeffding bound

之前Chernoff bound的推导是在XiXi为独立同分布的Bernoulli随机变量的假定下进行的，现在我们把上述bound推广到XiXi是任意[0,1][0,1]间的独立随机变量的情况。首先考虑XiXi是独立但非同分布的Bernoulli随机变量的情况。此时XX的moment-generating function变为

E[eλX]=∏i(pieλ+qi)E[eλX]=∏i(pieλ+qi)

根据Arithmetic-Geometric Mean Inequality易得

E[eλX]=∏i(pieλ+qi)≤(∑i(pieλ+qi)n)n=(peλ+q)nE[eλX]=∏i(pieλ+qi)≤(∑i(pieλ+qi)n)n=(peλ+q)n

其中p=∑ipi/n,q=1−pp=∑ipi/n,q=1−p. 易见此时bound又变回了之前独立同分布时的形式，因此上一节得到的bound依然成立。

接下来考虑XiXi是[0,1][0,1]上任意（既可以是离散也可以是连续的）独立随机变量的情况，使用的技巧是由Hoeffding提出的，因此最后得到的bound也叫Chernoff-Hoeffding bound。这里要利用函数eλxeλx的凸性：在区间[0,1][0,1]上，eλxeλx的图像总在连接点(0,1)(0,1)及(1,eλ)(1,eλ)的直线之下。该直线的方程为y=(eλ−1)x+1y=(eλ−1)x+1，因此有

E[eλXi]≤E[(eλ−1)Xi+1]=pieλ+qiE[eλXi]≤E[(eλ−1)Xi+1]=pieλ+qi

故有

E[eλX]≤∏iE[eλXi]≤∏i(pieλ+qi)E[eλX]≤∏iE[eλXi]≤∏i(pieλ+qi)

这与前述XiXi是独立非同分布Bernoulli随机变量的情况一致，因此上一节得到的bound依然成立。

Variance bound

之前得到的bound都只利用了一阶矩（期望）的信息，作为Chernoff bounding technique的一个简单应用，我们考虑引入二阶矩（方差）的信息。这里的关键技巧是利用不等式ex≤1+x+x2,0<|x|<1ex≤1+x+x2,0<|x|<1为moment-generating function构造上界，从而引入二阶矩（x2x2）。设μi=E[Xi],μ=E[X]μi=E[Xi],μ=E[X]，易知

Pr[X>μ+t]=Pr[∑i(Xi−μi)>t]=Pr[eλ∑i(Xi−μi)>eλt]≤E[eλ∑i(Xi−μi)]/eλtPr[X>μ+t]=Pr[∑i(Xi−μi)>t]=Pr[eλ∑i(Xi−μi)>eλt]≤E[eλ∑i(Xi−μi)]/eλt

利用之前提到的不等式及ex≥1+xex≥1+x，并假设∀i∈[n],max(μi,1−μi)<1/λ∀i∈[n],max(μi,1−μi)<1/λ，有

E[eλ∑i(Xi−μi)]=∏iE[eλ(Xi−μi)]≤∏iE[1+λ(Xi−μi)+λ2(Xi−μi)2]=∏i(1+λ2σ2i)≤∏ieλ2σ2i=eλ2σ2E[eλ∑i(Xi−μi)]=∏iE[eλ(Xi−μi)]≤∏iE[1+λ(Xi−μi)+λ2(Xi−μi)2]=∏i(1+λ2σi2)≤∏ieλ2σi2=eλ2σ2

其中σ2i,σ2σi2,σ2分别是Xi,XXi,X的方差。综上，有

Pr[X>μ+t]≤eλ2σ2/eλtPr[X>μ+t]≤eλ2σ2/eλt

针对λ<max(μi,1−μi)λ<max(μi,1−μi)最小化该上界，易知当λ=t/2σ2λ=t/2σ2时有

Pr[X>μ+t]≤exp(−t24σ2)Pr[X>μ+t]≤exp(−t24σ2)

其中t<2σ2/maxi {max(μi,1−μi)}t<2σ2/maxi {max(μi,1−μi)}.