Link Cut Tree(动态树)（坑）

前置知识

Splay基本操作
树链剖分
Splay维护区间信息

概念

链剖分

链剖分，是指一类对树的边进行轻重划分的操作，这样做的目的是为了整体地维护树上的连续一段节点/边，以优化时间复杂度。链剖分一般分为三种，重链剖分，实链剖分和并不常见的长链剖分。

重链剖分

重链剖分其实就是我们所说的树剖。
定义每个点的size域为它的儿子的个数，则定义某个点的重儿子为它的所有儿子中，size域最大的那个儿子。则连接它的它重儿子的边为重边，而连接其他儿子的边称为轻边。
若干重边连接在一起构成重链，因为重链上的节点编号连续，因此可以用某些数据结构维护重链内部的关系。

实链剖分

与重链剖分不同地，实链剖分并不按照size域来决定那一条边是重链，而是可以变化的，因此一般使用更加灵活的Splay来维护(据说还可以用Treap维护)，而LCT就是以实链剖分为基础的。

长链剖分

长链剖分在信息学竞赛中并不常见。它定义所有节点的深度为其到根的距离，则某个节点的重儿子为它的所有子树中，含有最大深度的节点的子树，其余定义和重链剖分基本一致。

LCT

在实链剖分的基础上，LCT支持很多重链剖分做不到的操作
- 查询、修改树上信息
- 换根
- 动态连边、删边
- 合并、分离不同的树
- 维护联通性(适用范围比并查集更广)

主要性质/定义

每个Splay维护的是一条在原树中深度严格递增的路径，且以深度为关键字排序。

图中的每个方框表示一棵Splay，由于Splay的性质，旋转不会破坏中序遍历，因此不论怎么旋转都可以保证树的形态唯一。
每个节点包含且仅包含于一个Splay中
树链剖分中，虽然说是把每条链交给一个线段树管理，但更多时候却是重新编号，在保证重链的编号连续的前提下，用一大棵线段树来管理。
类似地，LCT中，所有的Splay其实是一棵Splay，其中的实线边为真正的Splay的边，最多只有两条(即左右儿子)，而且关系是双向的，而虚边则仅仅由一个一棵Splay指向另一棵Splay中的某个点，更准确来说，应该指向另一棵Splay的根，关系是单向的，也就是说，父亲是不记录它的编号的。
为什么这里可以直接指向根呢？因为根据Splay的性质，可以很快地找到真正指向的元素—，即Splay中的最小元素。

操作

$access(x)$

作用：把 $x$ 到树根的唯一路径上的所有边变为实边，且让 $x$ 成为所在的重链中的深度最大的结点。
下面以 $access(N)$ 为例子。

具体怎么实现呢？根据性质一，旋转不会改变原树的结构，因此可以先把 $N$ 提到它所在的Spaly的根，即 $Splay(N)$ 。

因为要保证 $access(N)$ 之后， $x$ 是其所在的重链中深度最深的结点，因此不可能有结点的深度比 $N$ 还大，所以必须把 $N$ 的右子树独立开成另外一棵Splay。
因为虚边是单向的(父节点不认子节点)，因此在实现上直接让 $N$ 的右儿子为空就好啦。

对应到原图即为：

接着 $Splay(I=N->father)$

然后关键部分来了。既然我们要让 $N$ 到树根的唯一路径上的所有边变为实边，那么 $I->N$ 自然也不例外。因此，我们要让 $I->N$ 的边成为实边，那就让 $N$ 取缔 $I$ 的右儿子，为什么一定是右儿子呢？
回顾一下性质1：

每个Splay维护的是一条在原树中深度严格递增的路径，且以深度为关键字排序。

也就是说，在同一棵Splay中必须按照深度递增，而N是I的儿子，因此N的深度比较N更大，所以必须取缔右儿子的位置。

对应到原图：

然后再 $Splay(H=i->father)$

同理， $I$ 取缔 $H$ 的右儿子。

对应到原图

$Splay(A=G->father)$

$H$ 取缔 $A$ 的右儿子。

对应到原图：

大功告成！

$rooted(x)$

作用：让 $x$ 成为树根。
很多时候，仅仅让一个点和根节点在同一棵Splay中并不能满足要求，因为可能遇到某些节点的深度是相同的，根据性质一，这两个点不可能再同一棵Splay中，这种时候，就必须换根。
下面以 $rooted(N)$ 为例子

先 $access(N)$ 。

然后 $Splay(N)$ 。

这里不论是单旋还是双旋都没有问题，不会影响程序的正确性(因为不会影响到根节点和其他节点的大小)，但有可能对时间有一定影响。
然后就是重头戏啦！把 $N$ 所在的整棵 Splay 对称翻转。即让深度小的变为深度大的，深度大的变为深度小的。
但是这个操作的时间复杂度似乎是 $O(n)$ 的，那有没有什么好方法呢？回忆一下曾经的Splay模板之一：文艺平衡树
因此可以打上旋转标记。

在原图也就是把整条链从 $N$ 拎起来。

完成！

$split(x,y)$

作用：让 $x$ 和 $y$ 在同一棵Splay中。
有了access和rooted函数，就可以方便地拉出一条链了。