西瓜书笔记01：logistic回归、决策树

logistic回归

@[回归|分类|极大似然|泰勒级数|牛顿法|Hessian矩阵|sigmoid函数]

线性模型可以用来回归学习，若要做分类就要找一个单调可微函数将分类标记y与线性回归预测值联系起来。

如何求w和b？

• 二分类任务中，sigmoid函数即可将预测值z转换为0/1值。其中，sigmoid function：$y=\frac{1}{1+e^{-z}}$。将线性模型代入，即为$y=\frac{1}{1+e^{-(w^{T}x+b)}}$。

• 先算$\frac{y}{1-y}$再得$ln(\frac{y}{1-y})=w^{T}x+b$。令y为后验概率估计p(y=1|x)，则$ln(\frac{p(y=1|x)}{p(y=0|x)})=w^{T}x+b$。赋值法可得，
  

  $$p(y=1|x)=\frac{e^{w^{T}x+b}}{1+e^{w^{T}x+b}}$$
  $$p(y=0|x)=\frac{1}{1+e^{w^{T}x+b}}$$

• 极大似然估计w,b，最大化
  

  $$l(w,b)=\sum_{i=1}^{m}lnp(y_{i}|x_{i};w,b)，$$
  再根据牛顿法解出最优解。

牛顿法利用泰勒级数公式，求经过(x0,f(x0))点斜率为$f^{'}(x_{0})$的直线与x轴交点。即$f(x)=f(x_{0})+f^{'}(x_{0})\Delta x+...=0$得$x_{n+1}-x_{n}=-\frac{f(x_{n})}{f^{'}(x_{n})}$。计算hessian矩阵开销大，所以有了拟牛顿法。

优缺点

优点：计算代价不高，易于理解和实现。
缺点：容易欠拟合，分类精度可能不高。

python sklearn实现

# logistic分类
import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split,cross_val_score
#from sklearn.metrics import roc_curve #二元分类
#import matplotlib.pyplot as plt

# txt也可以用read_csv读成dataframe，.loc取出需要的列 行数表示到某一行
iris = pd.read_csv('E:\\study\\data\\iris.txt',sep=',',skiprows=[1])
X = iris.loc[:,['sepal length','sepal width']]
y = iris.loc[:,['class']]

X_train,X_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,test_size=0.3)
logreg = LogisticRegression(C=1e5)
logreg.fit(X_train,y_train)
#y_pred = logreg.predict(X_test)
scores = cross_val_score(logreg,X_train,y_train,cv=5)
#scooing='recall' 召回率
print '准确率：%s' % np.mean(scores) # 0.78

二元分类模型评估

		预测
		正例	反例
真实	正例	TP	FN(假反例)
	反例	FP(假正例)	TN

精确率|查准率 为预测为正例的里面真正例的比例，$P=\frac{TP}{TP+FP}。$
召回率|查全率为真实为正例的里面真正例的比例，$R=\frac{TP}{TP+FN}。$
ROC曲线 ROC的纵轴为真正例率，横轴为假正例率，分别为：

$$TPR=\frac{TP}{TP+FN}，$$
$$FPR=\frac{TP}{TP+FN}，$$

Tips

• logistic回归广泛应用于流行病学，如判断哪些因素是致病的关键因素，判断得某些病的概率等。
• 一般来说，拓展到多分类问题，OneVOne比OneVRest开销更小。
• 类别不平衡学习的基本策略——“再缩放”，常用SMOTE算法在少的类别中过采样。

决策树

@[信息熵]

划分属性

ID3决策树划分属性的准则为信息增益。
C4.5决策树的准则为增益率。
CART决策树使用基尼系数来选择划分属性，使划分后基尼指数最小。

属性值缺失怎么办？

数据集D关于属性a的信息增益公式可推广为

$$Gain(D,a)=\rho *Gain(\widetilde{D},a) =\rho *(Ent(\widetilde{D})-\sum_{v=1}^{V}Ent(\widetilde{D}^{v}))$$
其中， $\widetilde{D}$表示D中属性a上没有缺失值的样本子集， $\rho$为无缺失值样本所占的比例，a有v个取值。

优缺点

优点：易于理解和解释，数据准备简单。
缺点：对各类别样本数量不一致的数据，信息增益结果偏向于更多数值的特征。结果不稳定，可以使用集成决策树解决。