寻找欧拉回路的实现细节以及优化

欧拉回路是一个经典的图论问题，它虽然简单，但还是有一些需要注意的细节。

由于篇幅限制（手动滑稽），在这里只详细讲一个最重要的问题：把点加入答案的顺序。错误代码如下。

void dfs(int x)
{
	ans[++top]=x;//最直接的思路：每dfs到一个点就加入栈中
	for(int i=first[x];i;i=next[i])
		if(!vis[i]) vis[i]=1,dfs(to[i]);
}
int main()
{
	input();//此处省略
	dfs(1);
	for(int i=1;i<=top;i++) printf("%d ",ans[i]);
	return 0;
}

这样我们就可以愉快地爆零了，为什么呢？请看下图。

      5←4

      ↓    ↑

6←2→3

↓    ↑      

7→1

我们从号点开始，走到号点时，我们不能确定接下来走到的是号点还是号点，如果不幸地走到了号点，答案就会变成，果断...那么这是否说明不能解决这个问题呢？并非如此，只是我们的打开方式不对。代码如下。

void dfs(int x)
{
	for(int i=first[x];i;i=next[i])
		if(!vis[i]) vis[i]=1,dfs(to[i]);
	ans[++top]=x;//在一个点无路可走时才入栈
}
int main()
{
	input();
	dfs(1);
	while(top) printf("%d ",ans[top--]);//记得倒序输出
	return 0;
}

为什么这样是对的呢？一条欧拉回路显然由许多个环组成，我们要做的就是把这些环按顺序拼在一起，形成完整的欧拉回路。如果碰到一个点就把它加入栈中，显然会出现走到死胡同的情况。想想这种情况是怎么发生的：当一个点存在于多个环的交界处，而我们没有从这个点开始。在一个点无路可走时才入栈，确保了一个在多个环交界处的点不会以错误的顺序入栈，这样就保证了正确性。

欧拉回路还有一个十分有效的优化：当前弧优化（没错，就是算法里那个）。为什么我们需要优化呢？在某些极限情况下，两点之间存在大量的边（如点和之间有条边），在到一个点时，对于每条已经走过的边，都要判断，浪费了大量时间。为了解决这个问题，我们可以在时改变的值，令它始终等于接下来要访问的第一条边，这样，我们就可以省略数组了。代码如下。

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void dfs(int x)
{
	for(int i=first[x];i;i=first[x])
		first[x]=next[i],dfs(to[i]);
	ans[++top]=x;
}

然而，我们上面讨论的只限于有向图的情况，如果是一张无向图，当一条边被访问，它的反向边也不能再被访问，而这并不能只靠改变的值来实现，我们仍然需要数组。代码如下。

void dfs(int x)
{
	for(int i=first[x];i;i=first[x])
	{
		first[x]=next[i];
		if(vis[i>>1]) continue;
		vis[i>>1]=1,dfs(to[i]);
		//无向图的成对存储技巧：i号边被存在i<<1和i<<1|1中
	}
	ans[++top]=x;
}