关于决策树后剪枝和最大熵模型的一些直观理解

前言：
今天又看了一下李航的“统计学习方法”，每次看到决策树后剪枝和最大熵模型的时候，总觉得有些陌生，就是那种不管看几遍公式推导还是觉得理解不够到位的感觉，今天也不例外。于是我决定跳出公式，更加直观的去理解它们的原理，最后也算是有些新的感悟，就此做一个记录，同时希望能够有缘看到这篇文章的读者，对其中理解有误的地方指正出来，望不吝赐教。
ps:主要谈理解和思想，几乎不涉及公式推导和细节（并不是我懒得打公式），所以建议读者拿着原书对照着进行阅读。

一.决策树剪枝

统计学习方法中一共有两种决策树后剪枝的方法，我以前也没有仔细思考这两种剪枝到底有什么本质的区别，今天思考了一下，发现二者有着一个根本上的区别：

1.“决策树剪枝”(书中的名称，我直接沿用)是人为固定了正则项系数$\alpha$,然后对树进行从下自上的剪枝，通过剪枝前后的损失函数(个人认为这里是用验证集进行计算的损失函数，书中好像没提到)的变化而判断在每一个节点处是否剪枝。

2.”CART树剪枝”是找到一个递增的$\alpha$序列，这个序列正好一一对应到一组CART树的子树上。最终选择其中最优的一棵子树作为最终剪枝后的决策树，以及其对应的$\alpha$作为损失函数的正则项系数（因为是一一对应也可以看成选择了一个最优的惩罚项系数$\alpha$）。

1的思想是比较简单直观的，我们可以先用训练集根据特征选择和停止条件，递归地生成一颗决策树，然后再定一个$\alpha$，得到损失函数的表达式，基于验证集的损失函数值对决策树进行自下而上的剪枝。

关键是2中的决策树剪枝(以下只要不特殊说明，均指的是2中的决策树剪枝)，书上的公式实在是绕的我头晕，其实它的思想非常简单：
首先需要清楚的一点是，一般而言，决策树的损失函数由两部分组成，一是预测的错误率带来的损失，错误率越低，自然损失就越少，二是树的复杂度(一般和树的叶子节点数成正比)带来的损失(正则项)，复杂度越高，损失就越大。接下来便是重点：如果此时树的正则项系数$\alpha$为0，那么树的复杂度变不会带来损失,此时当然是未剪枝时候的树$T_0$的损失函数是最小的，任意位置的剪枝都会导致损失函数变大。此时我们将$\alpha$从0开始慢慢增大，也就是树的复杂度的代价越来越大，总会出现在某个值$\alpha_1$处，对某个节点进行剪枝后，损失函数不再变大，也就是说虽然此时错误率会提高(对于训练集而言)，但是复杂度会降低，而且它俩带来的代价正好抵消。那么此时我们根据奥卡姆剃刀准则，对此处进行剪枝，而且我们可以发现，当$\alpha$继续变大的话，剪枝后的树比剪枝前的树损失函数更小。此时就有一个结论，当$\alpha$属于[0,$\alpha_1$)时，原树是损失函数最小的，但是当超过$\alpha_1$时，便有损失函数更低的子树。

现在问题来了，我怎么知道此时应该对哪个点进行剪枝？这个某个节点指的是哪个？你在说**呢？
别慌，这就是书上那些公式的由来，我们既然已经知道一定有这么个$\alpha_1$，那就可以把它算出来。对于每个节点$node_i$，我们都能算出它的临界$\alpha_{node_i}$值(书中有详细说明如何计算)，也就是当$\alpha$等于这个值时，便可以对这个节点进行剪枝了，但这些临界$\alpha_{node_i}$各不相同，我们应该如何选择呢？其实在上一段的分析中我们就已经说清楚了，我们要选择这些$\alpha_{node_i}$最小的那个(随着$\alpha$从0慢慢增大，第一个遇到的不就是最小的那个$\alpha_{node_i}$嘛)。

之后便是重复以上的过程，我们把剪枝过后的树当成新的树，重复以上过程，随着$\alpha$增大，当达到某一个值$\alpha_2$时，我们需要继续剪枝，但在[$\alpha_1$,$\alpha_2$)上，$T_1$是损失函数最小的树，如此往复，直到达到停止条件。

最后我们就得到了一个$\alpha$序列和子树序列，我们再用验证集去分别算出每个子树的损失函数，最终选择损失函数最小的那个子树作为最终的决策树。

具体算法书中写的还是比较清楚的，我只是对算法进行一个更加直观的理解，总结一下就是说：我们希望找到一个尽可能稠密的，且具有包含关系的子树序列{$T_0 \supsetneq T_1\supsetneq T_2...$}，而且每个子树$T_i$在区间[$\alpha_i,\alpha_i+1$)上是损失函数最小的(选你总是有道理的嘛，总是有点本事才选你)，但是我们没法事先知道如何去取一个合适的惩罚系数$\alpha$, 所以我们通过验证集损失函数最小的原理选择出最终的决策树$T_i$，它恰好也对应了一个惩罚系数$\alpha_i$，这个惩罚系数就是比较的合理的。

二.最大熵模型

如果说上面决策树还是挺绕的(写的确实很繁琐，不过我觉得只要没有废话，那么写的越长就应该越容易让人理解)。那么下面的最大熵模型就真的是非常直观的理解了，我用简单几句话就能讲清楚其大概思路。

最大熵模型基于最大熵原理，最大熵原理的基本思想，就是你要得到一个模型，使得它在满足给定的条件下，预测事件可能性P的熵H(P)尽可能的大(最大化)，什么意思呢？比如说此时箱子里只有红球和白球两种球，但你不知道各自的数量是多少，那么此时我们就可以根据最大熵原理，红球白球各自占1/2的比例。这里的熵是作用于这个可能性P的.

接下来就是最大熵模型了，首先我们手上有一些训练集$(X_i,Y_i)$我们的目标是求$p(Y|X)$，是一个判别模型，而我们的熵H就是直接作用在P(Y|X)上的，那我们的目标就是$max H(p) = -