数据结构：对称矩阵

矩阵

一、什么是矩阵？

矩阵就是一个二维数组，有行和列之分

二、矩阵的分类？

对称矩阵、稀疏矩阵

三、什么是特殊矩阵？

1.特殊矩阵是矩阵；
2.矩阵中的元素有许多值相同或者有许多零元素；
3.矩阵中值相同的元素或零元素，它们的分布是有一定规律的；
ps：这三个条件缺一不可

对称矩阵

一、什么是对称矩阵？

1.对称矩阵是矩阵的一种存在形式
2.设一个N*N的矩阵A，A中任意元素A(i,j),当且仅当A(i,j)=A(j,i)（0 <=i <=N-1&&
0 <=j <=N-1），则矩阵A是对称矩阵

ps：以矩阵的对角线为分割，分为上三角和下三角

二、对称矩阵的特性？

1.对称矩阵是一个方阵，即就是行和列长度相等
2.对称矩阵中的所有元素都是相互对称的，即就是矩阵的下三角和上三角是对称的

三、对阵矩阵中元素的位置

1.行=列时，此时表明此元素位于对角线
2.行>列时，表明此元素位于下三角中
3.行<列时，表明此元素位于上三角中

四、对称矩阵的存储

因为对称矩阵的上三角和下三角是相互对称的，所以只需要单独存储一个就好，可以单独存上三角或者单独存下三角

存储下三角：

    在存储下三角时，可以使用一个二维数组来保存矩阵中的数据，但是这样的
话，会造成空间的浪费，所以可以选择使用一个一维数组来压缩的存储下三角
    存储矩阵下三角元素个数等于(（1+N)N)/2，所以数组的空间大小就
为(（1+N)N)/2

核心代码：

for (size_t i = 0; i < N; ++i) { //存储行
            for (size_t j = 0; j <= i; ++j) { //存储列
                _array[index++] = array[(i*N) + j];

五、对称矩阵的访问

    由于在存储时，只存储了一个下三角，但是对阵矩阵的访问必须可以访问整
个矩阵，所以此时我们必须可以把整个矩阵还原

访问下三角中的元素时：

可以直接访问，因为存储的时候就是存了下三角
需要访问那个元素时，只需要把此元素之前的所有元素都偏移过去，就可以得到此元素了

访问上三角中的元素时：

由于在存储时，只存储了下三角，但是上三角的元素和下三角的元素是相互对称的，所以如果需要访问上三角的元素时，那就先把需要访问的元素对称到下三角，然后在访问下三角即可

访问函数：

T &Acess(size_t row, size_t col) {
        if (row < col)
            swap(row, col);
        return _array[(((row + 1)*row) >> 1) + col];
    }

源代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
template<class T>
class SymmetricMatrix {
public:
    SymmetricMatrix(const T *array, size_t N)
        :_row(N)
        , _col(N) {
        size_t index = 0;//是一维数组的下标
        _array.resize(((1 + N) * N) >> 1); //开辟空间，矩阵下三角元素共有(（1 + N)N) / 2
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) { //存储行
            for (size_t j = 0; j <= i; ++j) { //存储列
                _array[index++] = array[(i*N) + j];//二维数组在内存中，其实也是按一位数组的形式存储着的
            }
        }
    }
    T &Acess(size_t row, size_t col) {
        if (row < col)//如果是要访问上三角的元素，那就把需要访问的元素对称到下三角中，然后访问下三角
            swap(row, col);
        return _array[(((row + 1)*row) >> 1) + col];
    }
    void Print() { //打印矩阵
        for (size_t i = 0; i < _row; ++i) {
            for (size_t j = 0; j < _col; ++j)
                cout << Acess(i, j);
            cout << endl;
        }
        cout << endl;
    }
private:
    vector<T> _array;//用来存储矩阵下三角的一维数组
    size_t _row;//矩阵的行
    size_t _col;//矩阵的列

};
void TestSymmetricMatrix() {
    int array[5][5] = {
        { 0, 1, 2, 3, 4 },
        { 1, 0, 1, 2, 3 },
        { 2, 1, 0, 1, 2 },
        { 3, 2, 1, 0, 1 },
        { 4, 3, 2, 1, 0 }
    };
    SymmetricMatrix<int>  sm((int *)array, sizeof(array) / sizeof(array[0]));
    //因为array是二维数组，而构造函数的参数是一维数组，所以需要把二维的数组array强转为一位数组
    //注意二维数组名代表的是二维数组首元素的地址，只是此处说的首元素是二维数组首行
    cout << "下标为（3,2）的元素为:>   " << sm.Acess(3, 2) << endl;
    cout << "下标为（2,3）的元素为:>   " << sm.Acess(2, 3) << endl;
    sm.Print();
    cout << endl;
}
int main() {
    TestSymmetricMatrix();
    system("pause");
    return 0;
}

运行结果：