无向图求割顶与桥

转自：https://blog.csdn.net/u013480600/article/details/44831553?locationNum=10&fps=1

                             **无向图求割顶与桥**

对于无向图G，如果删除某个点u后，连通分量数目增加，称u为图的关节点或割顶。对于连通图，割顶就是删除之后使图不再连通的点。如果删除边(u,v)一条边，就可以让连通图变成不连通的，那么边(u,v)是桥。具体的概念和定义比较多,在刘汝佳<<训练指南>>P312-314页都有详细的介绍。
下面来写求无向图割顶和桥的DFS函数.我们令pre[i]表示第一次访问i点的时间戳,令low[i]表示i节点及其后代所能连回(通过反向边)的最早祖先的pre值.下面的dfs函数返回的是当前遍历的节点u的low值.如果u是割顶还会标记u节点.且如果u->v(v是u的儿子节点)边是桥也会标记该边。

代码如下：

//求无向图的割顶和桥

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
const int maxn=100000+10;
int n,m;
int dfs_clock;//时钟，每访问一个节点增1
vector<int> G[maxn];//G[i]表示i节点邻接的所有节点
int pre[maxn];//pre[i]表示i节点被第一次访问到的时间戳,若pre[i]==0表示i还未被访问
int low[maxn];//low[i]表示i节点及其后代能通过反向边连回的最早的祖先的pre值
bool iscut[maxn];//标记i节点是不是一个割点

//求出以u为根节点(u在DFS树中的父节点是fa)的树的所有割顶和桥
//初始调用为dfs(root,-1);
int dfs(int u,int fa)
{
    int lowu=pre[u]=++dfs_clock;
    int child=0;    //子节点数目
    for(int i=0; i<G[u].size(); i++)
    {
        int v=G[u][i];
        if(!pre[v])
        {
            child++;//未访问过的节点才能算是u的孩子
            int lowv=dfs(v,u);
            lowu=min(lowu,lowv);
            if(lowv>=pre[u])
            {
                iscut[u]=true;      //u点是割顶
                if(lowv>pre[u])   //(u,v)边是桥
                    printf("边(%d, %d)是桥\n",u,v);
            }
        }
        else if(pre[v]<pre[u] && v!=fa)//v!=fa确保了(u,v)是从u到v的反向边
        {
            lowu=min(lowu,pre[v]);
        }
    }
    if(fa<0 && child==1 )
        iscut[u]=false;//u若是根且孩子数<=1,那u就不是割顶
    return low[u]=lowu;
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m)==2&&n)
    {
        dfs_clock=0;//初始化时钟
        memset(pre,0,sizeof(pre));
        memset(iscut,0,sizeof(iscut));
        for(int i=0;i<n;i++) G[i].clear();
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            int u,v;
            scanf("%d%d",&u,&v);
            G[u].push_back(v);
            G[v].push_back(u);
        }
        dfs(0,-1);//初始调用
        for(int i=0;i<n;i++)if(iscut[i]==true)
            printf("割顶是:%d\n",i);
    }
    return 0;
}

删除一个无向图中的点，能使得原图增加几个连通分量呢？

     如果该点是一个孤立的点，那么增加-1个。

     如果该点不是割点，那么增加0个。

     如果该点是割点且非根节点，那么增加该点在dfs树中(无反向边连回早期祖先的)的儿子数。

     如果该点是割点且是一个dfs树的根节点，那么增加该点在dfs树中(无反向边连回早期祖先的)的儿子数-1的数目。