为了叙述上的方便，先引入几个记号。
（1）设关系模式为R(A1,A2,...,An)。它的一个关系设为R。t∈R表示t是R的一个元组。t[Ai]则表示元组t中相应于属性Ai的一个分量。
（2）若A={Ai1,Ai2,...,Aik}，其中Ai1,Ai2,...,Aik是A1,A2,...,An中的一部分，则A称为属性列或属性组。t[A]=(t[Ai1],t[Ai2],...,t[Aik])表示元组t在属性列A上诸分量的集合。Ā则表示{A1,A2,...,An}中去掉{Ai1,Ai2,...,Aik}后剩余的属性组。
（3）R为n目关系，S为m目关系。Tr∈R，Ts∈S，Tr⌒Ts称为元组的连接（Concatenation）。它是一个n+m列的元组，前n个分量为R中的一个n元组，后m个分量为S中的一个m元组。
（4）给定一个关系R（X,Z），X和Z为属性组。当t[X]=x是，x在R中的象集（ImagesSet）定义为：
Zx = {t[Z]|t∈R,t[X]=x}
它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合。
如下图：
x1在R中的象集Zx1={Z1,Z2,Z3},
x2在R中的象集Zx2={Z2,Z3},
x3在R中的象集Zx3={Z1,Z3}
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下面给出这些专门的关系运算的定义：
1.选择（Selection）
选择又称为限制（Restriction）。它是在关系R中选择满足给定条件的诸元组，记作
σf(R) = {t|t∈R∧F(t)='真'}
其中F表示选择条件，它是一个逻辑表达式，取逻辑值“真”或“假”。
逻辑表达式F的基本形式为
X1θY1
其中θ表示比较运算符，他可以是>,≥,＜,≤,=或<>。X1,Y1 等式属性名，或为常量，或为简单函数；属性名也可以用它的序号来代替。在基本的选择条件上可以进一步进行逻辑运算，即进行求非（¬）、与（∧）、或（∨）运算。
选择运算实际上是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组。这是从行的角度进行的运算。
【例1】 查询信息系（IS系）全体学生。
σSdept='IS'(Student)或σ5='IS'(Student)
其中下角标“5”为Sdept的属性序号。
【例2】 查询年龄小于20岁的学生。
σSage<20(Student)或σ4<20(Student)
2.投影（Projection）
关系R上的投影是从R中选择出若干属性列组成新的关系。记作
∏A(R)={t[A]|t∈R}
其中A为R中属性列。
投影操作是从列的角度进行的运算。
【例3】 查询学生的姓名和所在系，即求Student关系上学生姓名和所在系两个属性上的投影。
∏Sname,Sdept(Student)或∏2,5(Student)
投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些组，因为取消了某些属性列后，就可能出现重复行，应取消这些完全相同的行。
【例4】 查询学生关系Student中都有哪些系，即查询关系Student上所在系属性上的投影。
∏Sdept(Student)
3.连接（Join）
连接也称为θ连接。它是从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组。
记作
R⋈S={Tr⌒Ts|Tr∈R∧Ts∈S∧Tr[A]θTs[B]}
其中A和B分别为R和S上度数相等且可比的属性组。θ是比较运算符。连接运算从R和S的笛卡尔积R×S中选取R关系在A属性组上的值与S关系在B属性组上值满足比较关系θ的元组。
连接运算中有两种最为重要的也最为常用的连接，一种是等值连接（equijoin），另一种是自然连接（Natural join）。
θ为“=”的连接运算称为 等值连接。
它是从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A，B属性值相等的哪些元组，即 等值连接为
R⋈S = {Tr⌒Ts|Tr∈R∧Ts∈S∧Tr[A]=Ts[B]}
A=B
自然连接（Natural join） 是一种特殊的等值连接。它要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且在结果中把重复的属性列去掉。即若R和S具有相同的属性组B，则 自然连接可记作
R⋈S = {Tr⌒Ts|Tr∈R∧Ts∈S∧Tr[B]=Ts[B]}
一般的连接操作是从行的角度进行运算。但自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行计算。
【例5】设图2.7（a）和（b）分别为关系R和关系S，图2.7（c）为一般连接R⋈S的结果，图2.7（d）为等值连接R⋈S的结果，图2.7（e）为自然连接R⋈S的结果。
两个关系R和S在做自然连接时，选择两个关系在公共属性上值相等的元组构成新的关系。此时，关系R中某些元组有可能在S中不存在公共属性上值相等的元组，从而造成R中这些元组在操作时被舍弃了，同样，S中某些元组也可能被舍弃。例如，在图2.7的自然连接中，R中的第4个元组，S中的第5个元组都被舍弃掉了。
如果把舍弃的元组也保存在结果关系中，而在其他属性上填空值（Null），那么这种连接叫做外连接（outer join）。如果值把左边关系R中要舍弃的元组保留就叫做左外连接（LEFT OUTER JOIN 或 LEFT JOIN），如果只把右边关系S要舍弃的元组保留就叫做右外连接（RIGHT OUTER JOIN 或 RIGHT JOIN）。在图2.8中，图（a）是图2.7中的关系R和关系S的外连接，图（b）是左外连接，图（c）是右外连接。
4.除运算（Division）
给定关系R（X,Y）和S（Y,Z），其中X、Y、Z为属性组。R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。
R与S的除运算得到一个新的关系P(X)，P是R中满足下列条件的元组在X属性列上的投影：元组在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合。记作
R÷S={Tr[X]|Tr∈R∧∏y(S)⊆Yx}
其中Yx为x在R中的象集，x=Tr[X]。
除操作是同时从行和列角度进行运算。
【例6】设关系R、S分别为图2.9中的（a）和（b），R÷S的结果为图2.9（c）。在关系R中，A可以去4个值{a1,a2,a3,a4}。其中：
a1的象集为{(b1,c2),(b2,c3),(b2,c1)}
a2的象集为{(b3,c7),(b2,c3)}
a3的象集为{(b4,c6)}
a4的象集为{(b6,c6)}
S在（B,C）上的投影为{(b1,c2),(b2,c1),(b2,c3)}
显然只有a1的象集（B,C）a1包含了S在(B,C)属性组上的投影，所以
R÷S={a1}
【例7】查询至少选修1号课程和3号课程的学生号码。
首先建立一个临时关系K:
然后求：
结果为{95001}。