Travel [BFS]

Travel [BFS]

话说这道题并没有找到提交的地方…就不写代码了[滑稽]

题目描述

给定一张n 个点的完全图，边都是无向的。

一共有n(n−1)/2 条边，其中有m 条边的边权是a，剩下的边边权都是b。

求1 到n 的最短路。

数据范围

2 ≤ n ≤ 100000; 0 ≤ m ≤ 500000

题解

一 初步分析

这是一张完全图，也就是说任意两点之间必有一条路相连。

如果$Len[1->n]==a$，那么最短路里面肯定不能再包含$a$，即$Len_{最短路}\leq a$。

同理可得$Len[1->n]==b$的情况。

所以最短路一定只包含$a$或$b$。

现在只用把含$a$和含$b$的边单独提出来跑最短路，并在两个答案里面取最小值即可。

二 如何跑最短路

对于第一张图（边权全部为$a$的图），边数并不是很多，$O(m)$时间复杂度内就可以BFS跑完。（dijkstra的时间复杂度是$(n+m)log\ n$）

对于第二张图（边权全部为$b$的图），显然不能够直接用BFS跑。

我们考虑BFS的执行过程：BFS是把队列中的每一个点延伸出去的边依次讨论，并把没在队列中的点加入队中，很多时间浪费在了没有用的边上。实际上，这么多条边里面最多只有$n$条边是有用的，也就是说，每个点只需要入队一次。如果避免了重复进队的点和无用的边，就可以快速找出最短路。

现在的任务是，精确地找出连向最短路的点。

由分析可得，边权为$b$的边（简称$b$边）最多会被分为$m$个部分（考虑从一个点辐射状发出的边中，有$m$条$a$边，剩余的全是$b$边；其余情况同样如此）（当有$a$边相邻时，$b$边会被分为$<m$个部分；这并没有什么影响）

我们给每条边编号（没有特别的顺序）。

设一个$b$边的区间为$[L,R]$。设$fa[i]$表示编号>=i，且不在队列中的最小编号。初始时$fa[i]=i$，类似于并查集。注意：这与并查集中$fa[i]$的定义有所不同。

按照边的编号顺序，对每一个区间进行如下操作：

1. int x=getfa(L);

2. while(x<=R){x入队; 进行最短路的操作; fa[x]=x+1; x=getfa(x+1);}

   I. fa[x]=x+1是因为x+1尚未入队。

   II. 最后一句表示的是x往后跳。精确地找出在最短路上的点。

然后我们就可以愉快地得出第二张图的最短路了。

最后比较两张图的答案，输出最小值。